Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
zn=3^n3^n+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
zn=ltfrac3^n3^n+1r,
verificar se ela converge ou diverge e, caso converge, calcular o limite.
O conteúdo é cálculo de limite de sequência envolvendo exponenciais e usaremos a ideia de dividir numerador e denominador pelo mesmo termo dominante.

Passo 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm o fator 3^n. Dividindo ambos por 3^n, obtemos
zn = 3^n3^n + 1 = 3^n/3^n(3^n+1)/3^n = 11 + 3^-n

Passo 3

Quando n to infty, temos 3^-n to 0. Logo
limntoinfty zn = limntoinfty 11 + 3^-n = 11+0 = 1
Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty zn = 1

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