Usando integral dupla, calcule a área da região dada. Esboce a região.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
usando integral dupla. O conteúdo é cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas. Vamos precisar:
usando integral dupla. O conteúdo é cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas. Vamos precisar:
- Descrever geometricamente
. - Montar a integral
. - Executar a integração iterada.
Passo 2
Esboço da região
:
- As curvas limites em
são as retas e . - As curvas limites em
são (eixo ) e (parábola voltada para cima).
Logoé a região “sob” a parábola e “acima” do eixo , para .
Passo 3
Configuração da integral dupla para a área:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Assim a integral torna-se
Passo 5
Agora integramos em
. Observando que
é par, podemos usar simetria:
Resposta
A área da região
é
.