Usando integral dupla, calcule a área da região dada. Esboce a região.
R=(x, y) in R^2 ;-1 <= x <= 1,0 <= y <= x^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região
R=(x,y)inR^2mid -1<= x<=1,;0<= y<= x^2
usando integral dupla. O conteúdo é cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas. Vamos precisar:
  1. Descrever geometricamente R.
  2. Montar a integral integral duplaRdA.
  3. Executar a integração iterada.

Passo 2

Esboço da região R:
  • As curvas limites em x são as retas x=-1 e x=1.
  • As curvas limites em y são y=0 (eixo x) e y=x^2 (parábola voltada para cima).
    Logo R é a região “sob” a parábola y=x^2 e “acima” do eixo x, para -1<= x<=1.

Passo 3

Configuração da integral dupla para a área:
Área(R) =integral duplaRdA =integralx=-1^1!integraly=0^x^2dy,dx Á

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integraly=0^x^2dy =l[yr]0^x^2 =x^2
Assim a integral torna-se
integral-1^1x^2,dx

Passo 5

Agora integramos em x. Observando que x^2 é par, podemos usar simetria:
integral-1^1x^2,dx =2integral0^1x^2,dx =2[x^33]0^1 =2cdot13 =23

Resposta

A área da região R é 23.

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