Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
psin=n+(-1)^nn-(-1)^n

Passo 1

O enunciado dá a sequência
psin = n + (-1)^nn - (-1)^n
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é estudo de sequência real pelo critério de convergência e, como há um termo (-1)^n, vamos separar em casos de n par e ímpar.

Passo 2

Se n=2k com kinN, então (-1)^n=(-1)^2k=1 e
psi2k ;=;2k + 12k - 1
Para ktoinfty, tanto o numerador quanto o denominador crescem como 2k, de modo que
limktoinftypsi2k =limktoinfty2k+12k-1 =1

Passo 3

Se n=2k+1, então (-1)^n=(-1)^2k+1=-1 e
psi2k+1 =(2k+1)-1(2k+1)+1 =2k2k+2 =kk+1
Para ktoinfty,
limktoinftypsi2k+1 =limktoinftykk+1 =1

Passo 4

Como ambas as subsequências psi2k e psi2k+1 tendem a 1, a sequência completa psin converge para o mesmo valor.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftypsin=1

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