Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
thetan=ln (n^2)n

Passo 1

Neste exercício temos a sequência thetan definida por
thetan = ln(n^2)n
O conteúdo envolve limites de sequências e propriedades de logaritmos. Nosso objetivo é verificar se ela converge e, em caso positivo, calcular limntoinftythetan.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando ln(n^2)=2ln(n), de modo que
thetan = 2ln(n)n

Passo 3

Para avaliar limntoinftyln(n)n, usamos a regra de L’Hôpital na função f(x)=ln(x)x quando xtoinfty. Calculamos
limxtoinftyln(x)x = limxtoinftyddxln(x)ddxx = limxtoinfty1/x1 = 0
Portanto limntoinftyln(n)n=0.

Passo 4

Como thetan = 2,ln(n)n, segue que
limntoinftythetan = 2 cdot 0 = 0,
logo a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência thetan converge e
limntoinftythetan = 0.

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