Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência. a_{n}=\frac{1}{n^{3 / 2}}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{1}{n^{3/2}}
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge, e calcular o limite caso haja convergência.
Informações explícitas que temos:
O termo geral é a_{n}=\dfrac{1}{n^{3/2}}.
O índice n varia pelos inteiros positivos n=1,2,3,\dots.
Os termos são números reais positivos (pois n^{3/2}>0 para n\ge 1).
Passo 2
Vamos lembrar a definição precisa de convergência de sequência (essa é a ferramenta que usaremos para provar rigorosamente o limite).
Definição (forma \varepsilon-N): A sequência (a_n) converge para um número L se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale
|a_n-L|<\varepsilon.
Isto significa: dado qualquer erro tolerável \varepsilon, existe um ponto da sequência a partir do qual todos os termos estão à distância menor que \varepsilon de L.
Explicando em palavras: para provar que (a_n) converge para um certo L é suficiente, e necessário, mostrar como escolher N em função de \varepsilon de modo que |a_n-L|<\varepsilon sempre que n\ge N.
Passo 3
Intuição rápida (sem rigor): o denominador n^{3/2} cresce sem limite quando n\to\infty, logo os termos \dfrac{1}{n^{3/2}} ficam cada vez menores; o candidato natural para limite é 0. Agora vamos dar a prova rigorosa com a definição \varepsilon-N.
Passo 4
Prova rigorosa usando a definição \varepsilon-N.
Tomemos um \varepsilon>0 arbitrário. Queremos encontrar um inteiro N tal que, para todo n\ge N,
então para todo n\ge N teremos n>\varepsilon^{-2/3} e assim \dfrac{1}{n^{3/2}}<\varepsilon. Em outras palavras, para esse N vale
\left| \frac{1}{n^{3/2}} - 0 \right|<\varepsilon\qquad\text{para todo }n\ge N.
Passo 5
Interpretação do passo anterior: mostramos que, para qualquer \varepsilon>0, existe um inteiro N (especificamente N=\lceil\varepsilon^{-2/3}\rceil) tal que todos os termos posteriores da sequência ficam dentro da bola de raio \varepsilon centrada em 0. Isso satisfaz exatamente a definição de convergência para L=0.
Passo 6
Comentário adicional (comparação e generalização, para fixar a ideia):
Comparação simples: para n\ge 1 tem n^{3/2}=n\cdot n^{1/2}\ge n, logo
0\le \frac{1}{n^{3/2}}\le \frac{1}{n}.
Como já se sabe (ou pode ser provado por um argumento \varepsilon-N semelhante) que \dfrac{1}{n}\to 0, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) obtemos \dfrac{1}{n^{3/2}}\to 0 também.
Generalização: para qualquer p>0 a sequência \dfrac{1}{n^{p}} converge para 0. A prova é idêntica: dado \varepsilon>0, basta escolher N=\lceil\varepsilon^{-1/p}\rceil.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0