Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência. a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência \displaystyle a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}
converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite.
Informações dadas:
A sequência é dada termo a termo por \displaystyle a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots.
Não há outros dados; a pergunta é apenas sobre o comportamento limite quando n\to\infty.
Passo 2
Reconhecer o tipo de sequência.
Uma sequência da forma \displaystyle r^{n} é chamada de sequência geométrica (ou potência). Aqui temos
O fator (-1)^{n} faz os termos alternarem de sinal (positivo, negativo, positivo, …).
O fator \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n} controla a magnitude (valor absoluto) dos termos.
Passo 3
Entender a propriedade fundamental que vamos usar.
Existe uma propriedade básica para potências: se \displaystyle 0\le r<1 então \displaystyle r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui a magnitude é \displaystyle r=\frac{2}{3}, que satisfaz \displaystyle 0<\frac{2}{3}<1. Logo intuitivamente \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\to 0. Vou transformar essa intuição numa prova \varepsilon-N simples, que é o modo formal de mostrar limites.
Passo 4
Prova formal (controle da magnitude) de que \displaystyle \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}\to 0.
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
onde \lceil \cdot\rceil é o teto (menor inteiro \ge expressão). Assim para todo n\ge N vale \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}<\varepsilon. Isso prova que \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\to 0.
Observação intuitiva: a cada multiplicação por \tfrac{2}{3} o número fica \tfrac{2}{3} vezes menor; repetindo isso indefinidamente vai encolher até algo arbitrariamente próximo de zero.
Passo 5
Deduzir o limite de \displaystyle a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}.
Usamos que
Já demonstramos que \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\to 0. Como o limite do valor absoluto é zero, o próprio termo converge para zero: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N,
Os termos passam de positivo para negativo, mas em valor absoluto ficam cada vez menores, tendendo a zero. Ótimo trabalho em acompanhar — essa é a ideia que aparece muito em provas: reconhecer a forma \displaystyle r^{n} e lembrar do critério |r|<1\Rightarrow r^{n}\to0.