Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
\displaystyle a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}
converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite.
Informações dadas:
  • A sequência é dada termo a termo por \displaystyle a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots.
  • Não há outros dados; a pergunta é apenas sobre o comportamento limite quando n\to\infty.

Passo 2

Reconhecer o tipo de sequência.
Uma sequência da forma \displaystyle r^{n} é chamada de sequência geométrica (ou potência). Aqui temos
\displaystyle a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}.
É útil reescrever o sinal separado da magnitude:
\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Isso mostra duas coisas de maneira clara:
  • O fator (-1)^{n} faz os termos alternarem de sinal (positivo, negativo, positivo, …).
  • O fator \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n} controla a magnitude (valor absoluto) dos termos.

Passo 3

Entender a propriedade fundamental que vamos usar.
Existe uma propriedade básica para potências: se \displaystyle 0\le r<1 então \displaystyle r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui a magnitude é \displaystyle r=\frac{2}{3}, que satisfaz \displaystyle 0<\frac{2}{3}<1. Logo intuitivamente \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\to 0. Vou transformar essa intuição numa prova \varepsilon- N simples, que é o modo formal de mostrar limites.

Passo 4

Prova formal (controle da magnitude) de que \displaystyle \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}\to 0.
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}<\varepsilon.
Tomando logaritmos naturais (função monótona), obtemos
\displaystyle n\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)<\ln(\varepsilon).
Como \displaystyle \ln\!\left(\frac{2}{3}\right)<0, ao dividir por esse número negativo a desigualdade inverte-se, ficando
\displaystyle n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)}.
Portanto, basta escolher
\displaystyle N=\left\lceil \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)}\right\rceil,
onde \lceil \cdot\rceil é o teto (menor inteiro \ge expressão). Assim para todo n\ge N vale \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}<\varepsilon. Isso prova que \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\to 0.
Observação intuitiva: a cada multiplicação por \tfrac{2}{3} o número fica \tfrac{2}{3} vezes menor; repetindo isso indefinidamente vai encolher até algo arbitrariamente próximo de zero.

Passo 5

Deduzir o limite de \displaystyle a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}.
Usamos que
\displaystyle |a_{n}|=\left|\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}\right|=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Já demonstramos que \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\to 0. Como o limite do valor absoluto é zero, o próprio termo converge para zero: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N,
\displaystyle |a_{n}-0|=|a_{n}|=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}<\varepsilon,
o que é exatamente a definição de \displaystyle a_{n}\to 0. Então a sequência converge e o limite é 0.

Passo 6

Um pouco de intuição numérica e comentário encorajador.
Calculando os primeiros termos vemos a alternância e a queda da magnitude:
\displaystyle a_{1}=-\tfrac{2}{3},\quad a_{2}=+\tfrac{4}{9}\approx0,444\ldots,\quad a_{3}=-\tfrac{8}{27}\approx-0,296\ldots,\quad a_{4}=+\tfrac{16}{81}\approx0,1975\ldots
Os termos passam de positivo para negativo, mas em valor absoluto ficam cada vez menores, tendendo a zero. Ótimo trabalho em acompanhar — essa é a ideia que aparece muito em provas: reconhecer a forma \displaystyle r^{n} e lembrar do critério |r|<1\Rightarrow r^{n}\to0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0

Exercícios relacionados