Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A fórmula explícita de
em termos de . - O que se quer saber: convergência/ divergência e, se houver convergência, o valor do limite.
Passo 2
Lembrete útil (fato trigonométrico que vamos usar): a função seno é periódica de período
, isto é,
Vamos aplicar isso à sequência para estudar periodicidade em
.
Passo 3
Calcular a periodicidade discreta em
. Observe:
Portanto a sequência
é periódica com período
: os termos repetem a cada 12 índices. Isso significa que os possíveis valores de
são apenas os valores dos 12 primeiros termos.
Passo 4
Vamos calcular explicitamente os 12 primeiros termos (valores padrão conhecidos do seno em ângulos múltiplos de
):
E então os valores repetem:
para todo
.
Passo 5
Argumento de divergência por subsequências: se uma sequência converge para algum limite
, então toda subsequência também converge para o mesmo
. Vamos exhibir duas subsequências com limites diferentes.
Considere a subsequência
(com
). Para esses
,
logo a subsequência
converge para
.
Agora considere a subsequência
. Para esses
,
logo a subsequência
converge para
.
Como
, temos duas subsequências que tendem a limites diferentes. Isso impede que a sequência inteira
tenha limite: se
tivesse limite
, todas as subsequências teriam de tender a
, contradição.
Passo 6
Conclusão: a sequência não converge; ela é periódica (período
) e assume múltiplos valores limitados (por exemplo
e
), logo não possui limite.
Resposta
A sequência diverge (não converge).