Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\operatorname{sen} \frac{n \pi}{6}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{6}\right),\quad n\in\mathbb{N},
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de a_{n} em termos de n.
  • O que se quer saber: convergência/ divergência e, se houver convergência, o valor do limite.

Passo 2

Lembrete útil (fato trigonométrico que vamos usar): a função seno é periódica de período 2\pi, isto é,
\sin(x+2\pi)=\sin(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Vamos aplicar isso à sequência para estudar periodicidade em n.

Passo 3

Calcular a periodicidade discreta em n. Observe:
\sin\!\left(\frac{(n+12)\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\frac{n\pi}{6}+2\pi\right) = \sin\!\left(\frac{n\pi}{6}\right).
Portanto a sequência a_{n} é periódica com período 12: os termos repetem a cada 12 índices. Isso significa que os possíveis valores de a_n são apenas os valores dos 12 primeiros termos.

Passo 4

Vamos calcular explicitamente os 12 primeiros termos (valores padrão conhecidos do seno em ângulos múltiplos de \pi/6):
\begin{aligned} a_1 &= \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2},\\\ a_2 &= \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ a_3 &= \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\\\ a_4 &= \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ a_5 &= \sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2},\\\ a_6 &= \sin(\pi)=0,\\\ a_7 &= \sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2},\\\ a_8 &= \sin\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ a_9 &= \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\\\ a_{10} &= \sin\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ a_{11} &= \sin\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2},\\\ a_{12} &= \sin(2\pi)=0. \end{aligned}
E então os valores repetem: a_{n+12}=a_n para todo n.

Passo 5

Argumento de divergência por subsequências: se uma sequência converge para algum limite L, então toda subsequência também converge para o mesmo L. Vamos exhibir duas subsequências com limites diferentes.
Considere a subsequência n=12k (com k\in\mathbb{N}). Para esses n,
a_{12k}= \sin(2\pi k)=0,
logo a subsequência a_{12k} converge para 0.
Agora considere a subsequência n=4+12k. Para esses n,
a_{4+12k}= \sin\!\left(\frac{(4+12k)\pi}{6}\right)=\sin\!\left(2\pi k+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
logo a subsequência a_{4+12k} converge para \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Como 0\neq\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos duas subsequências que tendem a limites diferentes. Isso impede que a sequência inteira a_n tenha limite: se a_n tivesse limite L, todas as subsequências teriam de tender a L, contradição.

Passo 6

Conclusão: a sequência não converge; ela é periódica (período 12) e assume múltiplos valores limitados (por exemplo 0 e \tfrac{\sqrt{3}}{2}), logo não possui limite.

Resposta

A sequência diverge (não converge).

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