Use o Teorema 10.5 para provar que as seqüências dadas convergem. Calcule os limites de cada uma delas.
a_{n}=5+\frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=5+\frac{1}{n}
e pede para usar o Teorema 10.5 para provar que a sequência converge e calcular o limite. Informação dada: para todo n\in\mathbb{N} temos a_n=5+1/n. Objetivo: mostrar que (a_n) tem limite finito e encontrar esse limite.

Passo 2

Vou usar o Teorema 10.5. Vou enunciar a parte do teorema que precisamos (em palavras simples):
Sejam (x_n) e (y_n) duas sequências convergentes com limites \lim_{n\to\infty} x_n = L e \lim_{n\to\infty} y_n = M. Então:
\lim_{n\to\infty} (x_n + y_n) = L + M.
Além disso, a sequência constante c_n\equiv c converge para c. Aqui x_n e y_n são quaisquer sequências convergentes, e L,M,c são seus respectivos limites.

Passo 3

Divido a_n em duas sequências mais simples:
c_n = 5 \qquad\text{e}\qquad b_n = \frac{1}{n},
de modo que a_n = c_n + b_n.
Primeiro, explico por que (c_n) converge para 5. Como c_n=5 para todo n, para qualquer \varepsilon>0 temos
|c_n-5| = |5-5| = 0 < \varepsilon.
Pelo critério de \varepsilon- N isso mostra que \lim_{n\to\infty} c_n = 5. (Sequência constante tem limite igual ao próprio valor.)

Passo 4

Agora mostro que \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0, isto é, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. Prova \varepsilon- N:
Seja \varepsilon>0. Escolha um N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (isto é possível porque existe N arbitrariamente grande). Para todo n\ge N temos n\ge N>1/\varepsilon, portanto
\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que, para qualquer \varepsilon>0, existe N com a propriedade desejada; assim \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
(Dica prática: a ideia é que 1/n fica tão pequeno quanto se queira para n suficientemente grande.)

Passo 5

Aplicando o Teorema 10.5 (soma de limites): como \lim_{n\to\infty} c_n = 5 e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (c_n + b_n) = 5 + 0 = 5.
Portanto (a_n) converge e seu limite é 5.

Passo 6

Comentário final e intuição: a sequência a_n é apenas a constante 5 perturbada por um pequeno erro 1/n que tende a zero. Na prova por \varepsilon- N poderia também ser feito diretamente: dado \varepsilon>0 escolher N>1/\varepsilon garante |a_n-5|=1/n<\varepsilon para n\ge N. Isso é equivalente ao que fizemos em passos separados, e costuma ser a forma mais direta na prova em prova escrita.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 5

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