Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que se determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite
.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula geral da sequência é
para . - Não há outros dados (como valores iniciais diferentes); só essa expressão.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão usando a propriedade das potências que diz que
. Aplicando aqui:
Isto já mostra que
é uma sequência geométrica dos termos
.
Passo 3
Analise da razão da sequência geométrica. O fator comum (razão) é
. Observe que
Uma propriedade intuitiva (e básica) de potências é: se
, então ao multiplicar repetidamente por
os termos ficam cada vez menores e tendem a zero. Mais formalmente, compare termos consecutivos:
portanto a sequência é estritamente decrescente (cada termo é menor que o anterior) e todos os termos são positivos.
Passo 4
Mostrando que a sequência é limitada inferiormente: todos os termos satisfazem
pois potência de número positivo é positiva. Assim a sequência é decrescente e tem limite inferior
. Pelo Teorema da Convergência Monótona (se uma sequência é monótona e limitada, então converge), concluímos que
converge (ou seja, o limite existe).
Explicação rápida do teorema em linguagem simples: uma sequência que vai sempre diminuindo e não pode cair abaixo de um certo número (aqui 0) precisa ter um valor limite — ela se aproxima de algum número sem passar dele.
Passo 5
Agora determinamos o valor do limite. Seja
Como
, tomando limite em ambos os lados (possível porque a sequência converge) obtemos
Subtraindo
dos dois lados:
Portanto
implica
.
Passo 6
Um argumento alternativo (intuitivo) para reforçar: como
, temos
quando
— a cada multiplicação por
o número fica
menor do que no passo anterior, então vai encolhendo até se tornar arbitrariamente pequeno. Se quiser uma versão com logaritmos:
e como
então o expoente vai para
e a exponencial tende a
.
Resposta
A sequência converge.