Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{3^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{3^{n}}{4^{n}} e pede que se determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula geral da sequência é a_{n}=\dfrac{3^{n}}{4^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • Não há outros dados (como valores iniciais diferentes); só essa expressão.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão usando a propriedade das potências que diz que \dfrac{b^{n}}{c^{n}}=\left(\dfrac{b}{c}\right)^{n}. Aplicando aqui:
a_{n}=\dfrac{3^{n}}{4^{n}}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}.
Isto já mostra que a_{n} é uma sequência geométrica dos termos \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}.

Passo 3

Analise da razão da sequência geométrica. O fator comum (razão) é r=\dfrac{3}{4}. Observe que
0<\dfrac{3}{4}<1.
Uma propriedade intuitiva (e básica) de potências é: se 0<r<1, então ao multiplicar repetidamente por r os termos ficam cada vez menores e tendem a zero. Mais formalmente, compare termos consecutivos:
\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}}=\dfrac{3}{4}<1,
portanto a sequência é estritamente decrescente (cada termo é menor que o anterior) e todos os termos são positivos.

Passo 4

Mostrando que a sequência é limitada inferiormente: todos os termos satisfazem
a_{n}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}>0
pois potência de número positivo é positiva. Assim a sequência é decrescente e tem limite inferior 0. Pelo Teorema da Convergência Monótona (se uma sequência é monótona e limitada, então converge), concluímos que a_{n} converge (ou seja, o limite existe).
Explicação rápida do teorema em linguagem simples: uma sequência que vai sempre diminuindo e não pode cair abaixo de um certo número (aqui 0) precisa ter um valor limite — ela se aproxima de algum número sem passar dele.

Passo 5

Agora determinamos o valor do limite. Seja
L=\lim_{n\to\infty} a_{n}.
Como a_{n+1}=\dfrac{3}{4}a_{n}, tomando limite em ambos os lados (possível porque a sequência converge) obtemos
L=\dfrac{3}{4}L.
Subtraindo \dfrac{3}{4}L dos dois lados:
L-\dfrac{3}{4}L=\left(1-\dfrac{3}{4}\right)L=\dfrac{1}{4}L=0.
Portanto \dfrac{1}{4}L=0 implica L=0.

Passo 6

Um argumento alternativo (intuitivo) para reforçar: como 0<\dfrac{3}{4}<1, temos \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}\to 0 quando n\to\infty — a cada multiplicação por \dfrac{3}{4} o número fica 25\% menor do que no passo anterior, então vai encolhendo até se tornar arbitrariamente pequeno. Se quiser uma versão com logaritmos: \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}=e^{n\ln(3/4)} e como \ln(3/4)<0 então o expoente vai para -\infty e a exponencial tende a 0.

Resposta

A sequência converge.
\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0

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