Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=2^{1 / n}

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a sequência a_{n}=2^{1/n} converge ou diverge e, no caso de convergência, que se calcule o limite.
Informação dada:
  • A sequência é definida por a_{n}=2^{1/n} para n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Vamos lembrar um fato muito simples e útil: \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Explicando por que isso é óbvio: à medida que n cresce sem limite, a fração \dfrac{1}{n} fica cada vez menor e tende a zero. Formalmente, dado \varepsilon>0, basta escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} para ter \dfrac{1}{n}<\varepsilon para todo n\ge N. Então realmente \dfrac{1}{n}\to 0.

Passo 3

Transformação útil: escrever a_{n} usando a função exponencial base e. Usamos a identidade c^{x}=e^{x\ln c} (válida para c>0). Assim
a_{n}=2^{1/n}=e^{(1/n)\ln 2}.
Aqui \ln 2 é apenas uma constante positiva (o logaritmo natural de 2).

Passo 4

Calcular o limite do expoente:
\lim_{n\to\infty}(1/n)\ln 2=(\ln 2)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=(\ln 2)\cdot 0=0.
Usei a propriedade básica de limites de que uma constante pode ser fatorada para fora do limite.

Passo 5

Agora usamos uma propriedade da função exponencial: ela é contínua (isto é, se x_n\to x então e^{x_n}\to e^{x}). Aplicando isso ao resultado do Passo 4, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}e^{(1/n)\ln 2}=e^{\;0}=1.
Isso já mostra que a sequência converge e que o limite é 1.

Passo 6

Pra reforçar a intuição (e ter um segundo método mais elementar): mostro que a sequência é decrescente e limitada inferiormente, logo converge por monotonia.
  • Para n\ge1 tem-se \dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n+1}. Como 2>1, a função x\mapsto 2^{x} é estritamente crescente em x, então
2^{1/n}>2^{1/(n+1)}\quad\Rightarrow\quad a_{n}>a_{n+1}.
Logo (a_n) é estritamente decrescente.
  • Além disso, para todo n tem-se 1/n>0, portanto a_n=2^{1/n}>2^{0}=1. Logo a sequência é limitada inferiormente por 1.
  • Uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. O limite, sendo um número L com L\ge1, deve satisfazer, ao passar ao limite na expressão a_n=e^{(1/n)\ln 2}, que L=e^{0}=1. Portanto o limite é 1.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para sentir a convergência:
  • a_{1}=2^{1}=2.
  • a_{2}=2^{1/2}=\sqrt{2}\approx1{,}414.
  • a_{10}=2^{1/10}\approx1{,}0718.
  • a_{100}=2^{1/100}\approx1{,}0069.
    Vê-se que os termos vão se aproximando de 1.

Resposta

Converge e \lim_{n\to\infty}a_{n}=1

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