Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a sequência
converge ou diverge e, no caso de convergência, que se calcule o limite.
Informação dada:
Informação dada:
- A sequência é definida por
para .
Passo 2
Vamos lembrar um fato muito simples e útil:
.
Explicando por que isso é óbvio: à medida que cresce sem limite, a fração
fica cada vez menor e tende a zero. Formalmente, dado
, basta escolher
para ter
para todo
. Então realmente
.
Explicando por que isso é óbvio: à medida que
Passo 3
Transformação útil: escrever
usando a função exponencial base
. Usamos a identidade
(válida para
). Assim
Aqui
é apenas uma constante positiva (o logaritmo natural de
).
Passo 4
Calcular o limite do expoente:
Usei a propriedade básica de limites de que uma constante pode ser fatorada para fora do limite.
Passo 5
Agora usamos uma propriedade da função exponencial: ela é contínua (isto é, se
então
). Aplicando isso ao resultado do Passo 4, obtemos
Isso já mostra que a sequência converge e que o limite é
.
Passo 6
Pra reforçar a intuição (e ter um segundo método mais elementar): mostro que a sequência é decrescente e limitada inferiormente, logo converge por monotonia.
- Para
tem-se . Como , a função é estritamente crescente em , então
Logo
é estritamente decrescente.
- Além disso, para todo
tem-se , portanto . Logo a sequência é limitada inferiormente por . - Uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. O limite, sendo um número
com , deve satisfazer, ao passar ao limite na expressão , que . Portanto o limite é .
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para sentir a convergência:
-
. -
. -
. -
.
Vê-se que os termos vão se aproximando de.
Resposta
Converge e