Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\left(1+\frac{k}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)^{n} e pede para determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite. Informações relevantes fornecidas:
  • k é uma constante (assumir k\in\mathbb{R}).
  • n é um inteiro positivo que tende a +\infty.
    As perguntas a responder: (i) a sequência converge quando n\to\infty? (ii) se convergir, qual é o valor do limite em função de k?

Passo 2

Estratégia inicial e manipulação conveniente. Uma técnica muito útil para sequências que têm potência com expoente que também depende de n é aplicar o logaritmo natural para transformar potência em produto, estudar o limite do logaritmo e depois voltar exponenciando. Definimos
a_n=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)^n,
e consideramos seu logaritmo natural quando a_n>0:
\ln a_n = n\ln\!\left(1+\dfrac{k}{n}\right).
Se mostrarmos que \ln a_n converge para algum número L, então a_n converge para e^{L}. Antes de prosseguir, tratar o caso k=0: se k=0 então a_n=(1+0)^n=1 para todo n, logo a sequência converge e o limite é 1=e^{0}. A partir de agora assumimos k\neq0.

Passo 3

Redução do problema usando uma mudança que facilita o limite. Coloque
t_n=\dfrac{k}{n},
então t_n\to0 quando n\to\infty. Reescrevendo \ln a_n em função de t_n obtemos
\ln a_n = n\ln\!\left(1+\dfrac{k}{n}\right) = k\cdot\frac{\ln(1+t_n)}{t_n}.
Logo estudar o limite de \ln a_n equivale a estudar o limite de \dfrac{\ln(1+t)}{t} quando t\to0.

Passo 4

Cálculo do limite auxiliar \displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}. Esse é um limite padrão; uma forma direta de mostrá-lo é usar a regra de L’Hôpital, pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando t\to0. Aplicando L’Hôpital:
\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to0}\dfrac{\dfrac{d}{dt}\ln(1+t)}{\dfrac{d}{dt}t} = \lim_{t\to0}\dfrac{1}{1+t}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+t_n)}{t_n}=1.

Passo 5

Conclusão para \ln a_n e retorno para a_n. Usando o resultado do passo anterior na expressão do passo 3,
\lim_{n\to\infty}\ln a_n = \lim_{n\to\infty} k\cdot\frac{\ln(1+t_n)}{t_n} = k\cdot 1 = k.
Como a função exponencial é contínua, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_n} = e^{\,\lim_{n\to\infty}\ln a_n} = e^{k}.
Comentário sobre definição: se k for negativo pode ocorrer que alguns primeiros termos tenham base 1+k/n\le0 (por exemplo para n muito pequenos), mas isso afeta apenas um número finito de termos; para n> |k| a base é positiva e o limite quando n\to\infty é bem definido e igual a e^{k}. Portanto não há problema para k\in\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=e^{k}

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