Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite. Informações relevantes fornecidas:
-
é uma constante (assumir ). -
é um inteiro positivo que tende a .
As perguntas a responder: (i) a sequência converge quando? (ii) se convergir, qual é o valor do limite em função de ?
Passo 2
Estratégia inicial e manipulação conveniente. Uma técnica muito útil para sequências que têm potência com expoente que também depende de
é aplicar o logaritmo natural para transformar potência em produto, estudar o limite do logaritmo e depois voltar exponenciando. Definimos
e consideramos seu logaritmo natural quando
:
Se mostrarmos que
converge para algum número
, então
converge para
. Antes de prosseguir, tratar o caso
: se
então
para todo
, logo a sequência converge e o limite é
. A partir de agora assumimos
.
Passo 3
Redução do problema usando uma mudança que facilita o limite. Coloque
então
quando
. Reescrevendo
em função de
obtemos
Logo estudar o limite de
equivale a estudar o limite de
quando
.
Passo 4
Cálculo do limite auxiliar
. Esse é um limite padrão; uma forma direta de mostrá-lo é usar a regra de L’Hôpital, pois tanto o numerador quanto o denominador tendem a
quando
. Aplicando L’Hôpital:
Portanto
Passo 5
Conclusão para
e retorno para
. Usando o resultado do passo anterior na expressão do passo 3,
Como a função exponencial é contínua, obtemos
Comentário sobre definição: se
for negativo pode ocorrer que alguns primeiros termos tenham base
(por exemplo para
muito pequenos), mas isso afeta apenas um número finito de termos; para
a base é positiva e o limite quando
é bem definido e igual a
. Portanto não há problema para
.