Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a sequência
converge ou diverge; e, caso converja, calcular o limite
.
Informações dadas:
- Para cada
considera-se . - Não há outras condições: queremos o comportamento de
quando .
Passo 2
Interpretação e plano (sem resolver ainda): aqui estamos com uma sequência positiva (já que
e
são positivos), e queremos ver se ela tende a um número finito quando
. Duas ideias úteis para este tipo de expressão:
- escrever
como produto e reescrever como produto de frações , o que ajuda a comparar com potências pequenas; - ou calcular a razão
e usar o comportamento dessa razão para inferir o limite.
Vou mostrar primeiro um argumento direto e elementar (produto e desigualdade) e, depois, explicar alternativamente com a razão (que dá a mesma conclusão e é uma boa ferramenta para outras questões).
Passo 3
Reescrever como produto e observar fatores pequenos.
Escrevendo
como produto:
logo
Cada fator
está entre
e
. Agora separamos os fatores em dois grupos: os
pequenos (menores ou iguais a
) e os
maiores.
Para
vale
Portanto existem pelo menos
fatores do produto que são
. Os demais fatores são
. Assim, para
,
Passo 4
Concluir a partir da desigualdade que o limite é zero.
A desigualdade do passo anterior dá, para
,
Sabendo que
quando
(porque é uma potência exponencial decrescente), pelo princípio do confronto (teorema do sanduíche) segue que
Assim a sequência converge e seu limite é
.
Passo 5
Argumento alternativo (razão) — útil para ver outra técnica e confirmar o resultado.
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Usando o limite clássico
com
(ou a versão equivalente para
), obtemos
Como a razão entre termos tende a um número menor que
, existe
e
tal que para todo
tem-se
. Isso implica que, para
,
ou seja, a cauda da sequência é dominada por uma progressão geométrica de razão
, o que força
. Mesma conclusão: a sequência converge para
.
Passo 6
Resumo didático e intuição final.
- Intuitivamente,
cresce rápido, mas cresce ainda mais rápido porque é multiplicado por si mesmo vezes, enquanto multiplica números que variam de a . Muitos fatores de são bem menores que , o que faz o quociente ficar muito pequeno quando cresce. - O argumento com o produto mostra concretamente que pelo menos metade dos fatores são
, o que já garante decaimento exponencial para zero. - O argumento com a razão é mais refinado e usa o limite exponencial que aparece frequentemente em sequências envolvendo
.
Resposta
A sequência converge e
.