Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência \,a_{n}=\dfrac{n!}{n^{n}}\, converge ou diverge; e, caso converja, calcular o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações dadas:
  • Para cada n\in\mathbb{N} considera-se \,a_{n}=\dfrac{n!}{n^{n}}\,.
  • Não há outras condições: queremos o comportamento de a_n quando n\to\infty.

Passo 2

Interpretação e plano (sem resolver ainda): aqui estamos com uma sequência positiva (já que n! e n^{n} são positivos), e queremos ver se ela tende a um número finito quando n\to\infty. Duas ideias úteis para este tipo de expressão:
  • escrever n! como produto \prod_{k=1}^{n} k e reescrever a_n como produto de frações \prod_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}, o que ajuda a comparar com potências pequenas;
  • ou calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e usar o comportamento dessa razão para inferir o limite.
Vou mostrar primeiro um argumento direto e elementar (produto e desigualdade) e, depois, explicar alternativamente com a razão (que dá a mesma conclusão e é uma boa ferramenta para outras questões).

Passo 3

Reescrever como produto e observar fatores pequenos.
Escrevendo n! como produto:
n! = \prod_{k=1}^{n} k,
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a_n=\frac{n!}{n^{n}}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}.
Cada fator \dfrac{k}{n} está entre 0 e 1. Agora separamos os fatores em dois grupos: os k pequenos (menores ou iguais a \lfloor n/2\rfloor) e os k maiores.
Para 1\le k\le \lfloor n/2\rfloor vale
\frac{k}{n}\le\frac{\lfloor n/2\rfloor}{n}\le\frac{n/2}{n}=\frac{1}{2}.
Portanto existem pelo menos \lfloor n/2\rfloor fatores do produto que são \le\frac{1}{2}. Os demais fatores são \le 1. Assim, para n\ge 2,
a_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\le 1^{\,n-\lfloor n/2\rfloor}\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}.

Passo 4

Concluir a partir da desigualdade que o limite é zero.
A desigualdade do passo anterior dá, para n\ge 2,
0\le a_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}.
Sabendo que \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\to 0 quando n\to\infty (porque é uma potência exponencial decrescente), pelo princípio do confronto (teorema do sanduíche) segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Assim a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 5

Argumento alternativo (razão) — útil para ver outra técnica e confirmar o resultado.
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}} =\frac{(n+1)\,n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Usando o limite clássico \lim_{m\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{m}\right)^{m}=e^{x} com x=-1 (ou a versão equivalente para 1-\frac{1}{n+1}), obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}<1.
Como a razão entre termos tende a um número menor que 1, existe r\in(0,1) e N tal que para todo n\ge N tem-se \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le r. Isso implica que, para n\ge N,
a_n \le a_N\, r^{\,n-N},
ou seja, a cauda da sequência é dominada por uma progressão geométrica de razão r<1, o que força a_n\to 0. Mesma conclusão: a sequência converge para 0.

Passo 6

Resumo didático e intuição final.
  • Intuitivamente, n! cresce rápido, mas n^{n} cresce ainda mais rápido porque é n multiplicado por si mesmo n vezes, enquanto n! multiplica números que variam de 1 a n. Muitos fatores de n! são bem menores que n, o que faz o quociente ficar muito pequeno quando n cresce.
  • O argumento com o produto mostra concretamente que pelo menos metade dos fatores são \le\tfrac{1}{2}, o que já garante decaimento exponencial para zero.
  • O argumento com a razão é mais refinado e usa o limite exponencial que aparece frequentemente em sequências envolvendo (1+o(1))^{n}.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.

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