Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
3 n^3+12 n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a sequência
an=3n^3+12n^2+n
quanto à convergência quando ntoinfty. Esse tipo de problema envolve limites de sequências definidas por quocientes de polinômios, e a técnica padrão é comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador para verificar se a sequência converge (e, em caso afirmativo, achar o limite) ou diverge.

Passo 2

Observamos que o numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é de grau 2. Geralmente, se o grau do numerador for maior que o grau do denominador, a sequência tende a crescer sem limite (diverge para +infty). Vamos formalizar isso dividindo numerador e denominador pelo termo de maior grau do denominador, que é n^2.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n^2, obtemos
an =3n^3+12n^2+n =3n^3n^2+1n^22n^2n^2+nn^2 =3n+1n^22+1n
Quando ntoinfty, temos tfrac1n^2to0 e tfrac1nto0, logo o numerador 3n+tfrac1n^2sim3nto+infty e o denominador 2+tfrac1nto2. Assim
ansim3n2to+infty

Passo 4

Como anto+infty quando ntoinfty, a sequência não converge para um número real finito; ela diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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