Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a sequência
quanto à convergência quando . Esse tipo de problema envolve limites de sequências definidas por quocientes de polinômios, e a técnica padrão é comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador para verificar se a sequência converge (e, em caso afirmativo, achar o limite) ou diverge.
quanto à convergência quando
Passo 2
Observamos que o numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é de grau 2. Geralmente, se o grau do numerador for maior que o grau do denominador, a sequência tende a crescer sem limite (diverge para
). Vamos formalizar isso dividindo numerador e denominador pelo termo de maior grau do denominador, que é
.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
, obtemos
Quando
, temos
e
, logo o numerador
e o denominador
. Assim
Passo 4
Como
quando
, a sequência não converge para um número real finito; ela diverge para
.
Resposta
A sequência diverge para
.