Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
f(n)=nn+1 sen(n pi2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a sequência $ f(n) = \frac{n}{n+1} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos de limite de sequências e comportamento das funções trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da sequência. O termo $ \frac{n}{n+1} $ é uma fração onde o numerador e o denominador crescem com $ n $. Para entender o que acontece quando $ n $ vai para o infinito, podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por $ n $:
nn+1
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a zero, então:
n
Isso significa que o fator $ \frac{n}{n+1} $ se aproxima de 1 conforme $ n $ aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte trigonométrica: $ \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $. Vamos ver o comportamento dessa função para valores inteiros de $ n $:
  • Para $ n = 1 $: $ \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
  • Para $ n = 2 $: $ \operatorname{sen}(\pi) = 0 $
  • Para $ n = 3 $: $ \operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
  • Para $ n = 4 $: $ \operatorname{sen}(2\pi) = 0 $
E assim por diante. Observamos que a função seno alterna entre 1, 0, -1 e 0 repetidamente para cada valor inteiro de $ n $.

Passo 4

Juntando as duas análises, a sequência $ f(n) $ pode ser vista como:
f(n)
Como vimos, $ \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ não converge para um único valor, pois oscila entre 1, 0 e -1. Portanto, a sequência $ f(n) $ também não tem um único limite.

Resposta

A sequência é divergente, pois não possui um limite único quando $ n $ tende ao infinito.

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