Determine se as sequências são convergentes ou divergentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência $ f(n) = \sinh(n) $ é convergente ou divergente. Aqui, estamos trabalhando com sequências e analisando seu comportamento à medida que $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a função seno hiperbólico ($ \sinh $) e como ela se comporta quando $ n $ aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ \sinh(n) $. A função seno hiperbólico é definida pela fórmula:
Onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de $ \sinh(n) $ quando $ n $ tende para o infinito. Vamos olhar para as duas partes da fórmula:
- $ e^{n} $: Isso cresce muito rapidamente conforme $ n $ aumenta.
- $ e^{-n} $: Isso decresce para zero conforme $ n $ aumenta.
Passo 4
Então, quando $ n $ fica grande, $ e^{n} $ domina a expressão porque $ e^{-n} $ se torna praticamente insignificante. Assim, podemos aproximar:
Isso significa que $ \sinh(n) $ cresce exponencialmente conforme $ n $ aumenta.
Passo 5
Uma sequência é dita convergente se ela se aproxima de um número específico conforme $ n $ cresce. Se a sequência cresce sem limite, dizemos que ela é divergente. Como vimos que $ \sinh(n) $ cresce exponencialmente sem parar, ela não se aproxima de nenhum número finito.
Resposta
A sequência $ f(n) = \sinh(n) $ é divergente.