Considere a função f(x)=3+11-x definida para x neq 1.
a) Calcule os limites laterais de f no ponto 1 .
b) Calcule os limites de f em +infty e -infty.
c) Usando os itens anteriores, esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=3+11-x
definida para xneq1 e pede:
(a) os limites laterais em x=1,
(b) os limites em +infty e em -infty,
(c) um esboço do gráfico.
Vamos usar análise de limites para identificar as assíntotas vertical e horizontal e depois descrever a forma da curva em cada ramo.

Passo 2

Cálculo dos limites laterais em x=1.
Quando xto1^-, temos 1-xto0^+, logo
11-xto+infty
e
limxto1^-f(x)=3+infty=+infty
Quando xto1^+, temos 1-xto0^-, logo
11-xto-infty
e
limxto1^+f(x)=3-infty=-infty

Passo 3

Cálculo dos limites em infinito.
Para xto+infty, 1-xto-infty e assim
11-xto0^-,
logo
limxto+inftyf(x)=3+0=3
Para xto-infty, 1-xto+infty e assim
11-xto0^+,
logo
limxto-inftyf(x)=3+0=3

Passo 4

Análise do esboço do gráfico.
  1. Há assíntota vertical em x=1 pois os limites laterais são pminfty.
  2. Há assíntota horizontal em y=3 pois limxtopminftyf(x)=3.
  3. A derivada
f'(x)=ddxl(3+(1-x)^-1r)=(1-x)^-2>0
mostra que f é estritamente crescente em cada ramo.
4. Para x<1, quando xto-infty tem-se f(x)to3^+ e quando xto1^-, f(x)to+infty.
5. Para x>1, quando xto1^+, f(x)to-infty e quando xto+infty, f(x)to3^-.

Resposta

(a) limxto1^-f(x)=+infty e limxto1^+f(x)=-infty.
(b) limxto+inftyf(x)=3 e limxto-inftyf(x)=3.
(c) O gráfico tem assíntota vertical x=1 e horizontal y=3. Para x<1 a curva parte de y=3^+ em xto-infty e sobe até +infty em xto1^-. Para x>1 desce de -infty em xto1^+ e aproxima-se de y=3^- quando xto+infty.

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