Determine se a sequiência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. \left\{\frac{1}{1}, \frac{3}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \ldots\right\}
Passo 1
O enunciado fornece a sequência \left\{\frac{1}{1},\; \frac{3}{3},\; \frac{1}{2},\; \frac{1}{4},\; \frac{1}{3},\; \frac{1}{5},\; \frac{1}{4},\; \frac{1}{6},\ldots\right\}.
O que é pedido:
Determinar se a sequência converge ou diverge.
Se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes que temos (explicitadas a partir dos termos mostrados):
Os dois primeiros termos são \frac{1}{1} e \frac{3}{3} (ambos iguais a 1).
A partir do terceiro termo, os termos parecem alternar valores que diminuem: \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\ldots.
Precisamos identificar uma expressão geral (ou uma descrição) da sequência e usar isso para estudar o limite quando n\to\infty.
Passo 2
Vamos identificar uma fórmula para os termos a partir do terceiro termo, separando índices ímpares e pares (isso facilita ver o padrão). Denotemos os termos por a_n, com n começando em 1.
Observando:
a_1=\frac{1}{1}=1.
a_2=\frac{3}{3}=1.
Para n=3,5,7,\ldots (índices ímpares a partir de 3) os valores são \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots. Isso sugere que, para k\ge 1,a_{2k+1}=\frac{1}{k+1}.Verificação rápida: para k=1 temos a_3=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}; para k=2 temos a_5=\frac{1}{3}, ok.
Para n=4,6,8,\ldots (índices pares a partir de 4) os valores são \frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots. Isso sugere que, para m\ge 2 (onde n=2m),a_{2m}=\frac{1}{m+2}.Verificação rápida: para m=2 ( n=4 ) temos a_4=\frac{1}{4}; para m=3 ( n=6 ) temos a_6=\frac{1}{5}, ok.
Portanto temos a descrição (com exceção das duas primeiras posições especiais a_1 e a_2):
Vamos escrever as fórmulas acima de forma apenas em função de [n) (útil para estudar limites). Para n\ge 3 temos duas fórmulas equivalentes, usando n:
Se n é ímpar e n\ge 3, escreva n=2k+1 com k\ge1. Entãoa_n = \frac{1}{k+1} = \frac{1}{\frac{n-1}{2}+1} = \frac{2}{n+1}.
Se n é par e n\ge 4, escreva n=2m com m\ge2. Entãoa_n = \frac{1}{m+2} = \frac{1}{\frac{n}{2}+2} = \frac{2}{n+4}.
Resumindo para n\ge 3:
a_n = \begin{cases} \dfrac{2}{n+1}, & \text{se }n\text{ é ímpar},\\[6pt] \dfrac{2}{n+4}, & \text{se }n\text{ é par}. \end{cases}éíé
(E reforço: a_1=a_2=1\] são termos iniciais especiais que não alteram o comportamento do limite quando \(n\to\infty.)]
Passo 4
Agora vamos estudar o comportamento quando n\to\infty.
Observação simples: todos os termos a_n são não-negativos, pois são frações positivas. Para n\ge 3 temos das fórmulas:
0 \le a_n \le \frac{2}{n+1},
porque quando n é ímpar a_n=\dfrac{2}{n+1} e quando n é par a_n=\dfrac{2}{n+4}\le \dfrac{2}{n+1} (denominador maior dá fração menor ou igual).
Então a sequência para n\ge 3 está aprisionada entre 0 e \dfrac{2}{n+1}.
Passo 5
Conhecimento necessário (explicado de forma simples): se temos uma sequência \left\{b_n\right\} com b_n\to 0 e outra sequência \left\{c_n\right\} com c_n\to 0, e uma sequência a_n tal que b_n\le a_n\le c_n para todo n grande o suficiente, então a_n\to 0 também. Essa é a ideia do Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
Aplicando aqui: a sequência 0 (constante zero) claramente tende a 0. A sequência \dfrac{2}{n+1} tende a 0 quando n\to\infty (porque o numerador é constante e o denominador cresce sem limite). Como para n\ge 3 temos
0 \le a_n \le \frac{2}{n+1},
pela razão acima (confronto) obtemos a_n\to 0 quando n\to\infty.
Se preferir um argumento com \varepsilon: dado \varepsilon>0, escolha N tal que \dfrac{2}{N+1}<\varepsilon (por exemplo N>\dfrac{2}{\varepsilon}-1). Para todo n\ge N temos a_n\le \dfrac{2}{n+1}\le \dfrac{2}{N+1}<\varepsilon, logo a_n\to 0.
Passo 6
Conclusão com empatia rápida: sei que a sequência tem aquela aparência estranha no início (dois termos iguais a 1 e depois várias frações), mas no final das contas todas as frações vão para 0 quando n cresce muito. Portanto a sequência converge e o limite é 0.