Determine se a sequiência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{1 / n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{1/n} e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Se converge, pedir também o valor do limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A sequência é definida para n inteiro positivo.
  • A expressão envolve uma base \displaystyle 1+\frac{2}{n} e um expoente \displaystyle \frac{1}{n}.
  • Ao observar n\to\infty, nota-se que \displaystyle 1+\frac{2}{n}\to 1 e \displaystyle \frac{1}{n}\to 0.

Passo 2

Escolha do método: é muito comum, quando o expoente depende de n, tomar o logaritmo da sequência para transformar potência em produto — isso facilita analisar o limite. Vou definir \displaystyle b_n=\ln a_n e estudar o limite de \displaystyle b_n. Se \displaystyle b_n\to L, então \displaystyle a_n=\mathrm{e}^{b_n}\to \mathrm{e}^{L} pela continuidade da exponencial. Explico essa ideia passo a passo para você poder usar na prova.

Passo 3

Calcule o logaritmo da sequência e escreva de forma mais simples:
b_n=\ln a_n=\ln\!\left[\left(1+\frac{2}{n}\right)^{1/n}\right]=\frac{1}{n}\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right).
Agora vamos estimar \displaystyle b_n. Usamos a desigualdade clássica para x>-1:
\ln(1+x)\le x.
Vou provar essa desigualdade rapidamente (é útil para a prova): defina f(x)=\ln(1+x)-x. Então
f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}.
Para x\ge 0 temos f'(x)\le 0, logo f é decrescente em [0,\infty). Como f(0)=0, resulta f(x)\le 0 para todo x\ge 0, isto é, \ln(1+x)\le x para x\ge 0. No nosso caso usamos x=\dfrac{2}{n}>0.

Passo 4

Aplicando a desigualdade \ln(1+x)\le x com x=\dfrac{2}{n} obtemos
0<\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right)\le \frac{2}{n}.
Dividindo por n>0 vem
0< b_n=\frac{1}{n}\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right)\le \frac{2}{n^2}.
Agora aplicamos o teorema do confronto (squeeze): a sequência \displaystyle \frac{2}{n^2} tende a 0 quando n\to\infty, e b_n está “preso” entre 0 e \dfrac{2}{n^2}. Portanto
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Aqui dei a justificativa mínima e rigorosa: 0\le b_n \le 2/n^2 e 2/n^2\to 0 implica b_n\to 0.

Passo 5

Voltando para a_n: temos a_n=\mathrm{e}^{b_n}. Como a função exponencial é contínua em todos os reais, do limite de b_n decorre o limite de a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \mathrm{e}^{b_n} = \mathrm{e}^{\lim_{n\to\infty} b_n} = \mathrm{e}^{0}=1.
Então a sequência converge e o limite é \displaystyle 1.

Passo 6

Intuição extra (útil para prova oral): você também pode ver isso usando a expansão \ln(1+t)=t+o(t) quando t\to 0. Aqui t=\dfrac{2}{n}, então \ln(1+2/n)\sim 2/n e daí b_n\sim \dfrac{2}{n^2}\to 0, o que dá a mesma conclusão. Mas a demonstração por desigualdade que usei nos passos anteriores é mais direta e totalmente rigorosa sem séries.

Resposta

1

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