Determine se a sequiência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Se converge, pedir também o valor do limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A sequência é definida para
inteiro positivo. - A expressão envolve uma base
e um expoente . - Ao observar
, nota-se que e .
Passo 2
Escolha do método: é muito comum, quando o expoente depende de
, tomar o logaritmo da sequência para transformar potência em produto — isso facilita analisar o limite. Vou definir
e estudar o limite de
. Se
, então
pela continuidade da exponencial. Explico essa ideia passo a passo para você poder usar na prova.
Passo 3
Calcule o logaritmo da sequência e escreva de forma mais simples:
Agora vamos estimar
. Usamos a desigualdade clássica para
:
Vou provar essa desigualdade rapidamente (é útil para a prova): defina
. Então
Para
temos
, logo
é decrescente em
. Como
, resulta
para todo
, isto é,
para
. No nosso caso usamos
.
Passo 4
Aplicando a desigualdade
com
obtemos
Dividindo por
vem
Agora aplicamos o teorema do confronto (squeeze): a sequência
tende a
quando
, e
está “preso” entre
e
. Portanto
Aqui dei a justificativa mínima e rigorosa:
e
implica
.
Passo 5
Voltando para
: temos
. Como a função exponencial é contínua em todos os reais, do limite de
decorre o limite de
:
Então a sequência converge e o limite é
.
Passo 6
Intuição extra (útil para prova oral): você também pode ver isso usando a expansão
quando
. Aqui
, então
e daí
, o que dá a mesma conclusão. Mas a demonstração por desigualdade que usei nos passos anteriores é mais direta e totalmente rigorosa sem séries.