Show that the following functions are harmonic, that is, that they satisfy Laplace’s equation, and find for each a function
of which the given function is the real part. Show
2) that the function
(which you find) also satisfies Laplace’s equation.
2) that the function
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) mostrar que a função
é harmônica (isto é, satisfaz a equação de Laplace), (b) encontrar uma função complexa
cuja parte real seja
, e (c) mostrar que a função
que você encontrar também é harmônica. Informação dada:
. Não há outras informações externas.
Passo 2
O que significa “harmônica” e qual é a equação que vamos verificar. Uma função real
é harmônica se satisfaz a equação de Laplace
Aqui
e
são as variáveis reais independentes. Vou calcular as derivadas parciais de
e somar as segundas derivadas para verificar se dá zero.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais primeiras de
. Usando regra do produto e derivadas básicas:
Aqui explique: ao derivar em
,
é tratada como constante; ao derivar em
,
é constante e a derivada de
é
.
Passo 4
Agora as segundas derivadas:
Some as duas:
Portanto
, logo
é harmônica.
Passo 5
Agora vou encontrar uma função complexa
(onde
) cuja parte real seja
. Para isso uso as equações de Cauchy–Riemann: se
é holomorfa (analítica), as partes real
e imaginária
satisfazem
Estas relações permitem achar
(chamada de conjugada harmônica de
) até uma constante aditiva.
Passo 6
Use a primeira equação de Cauchy–Riemann
. Já calculamos
, então
Integro em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função de
(constante de integração relativa a
).
Passo 7
Agora uso a segunda equação de Cauchy–Riemann
. Temos
, então
Calcule
a partir da expressão
:
Comparando com
obtemos
, logo
(constante real). Portanto uma conjugada harmônica é
Podemos tomar
para simplificar, pois adicionar constante não altera a parte real de
.
Passo 8
Forme
. Com
temos
Note que
, então
Assim,
(mais geral
) é uma função holomorfa cuja parte real é
.
Passo 9
Finalmente, mostro que
também é harmônica. Calculo as derivadas:
Somando:
Logo
, isto é,
também é harmônica.
Resposta
Uma função complexa com parte real
A conjugada harmônica encontrada é