Show that the following functions are harmonic, that is, that they satisfy Laplace’s equation, and find for each a function f(z) of which the given function is the real part. Show
2) that the function v(x, y) (which you find) also satisfies Laplace’s equation.
u(x, y)=e^{x} \cos y

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) mostrar que a função u(x,y)=e^{x}\cos y é harmônica (isto é, satisfaz a equação de Laplace), (b) encontrar uma função complexa f(z) cuja parte real seja u, e (c) mostrar que a função v(x,y) que você encontrar também é harmônica. Informação dada: \;u(x,y)=e^{x}\cos y. Não há outras informações externas.

Passo 2

O que significa “harmônica” e qual é a equação que vamos verificar. Uma função real u(x,y) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace
\Delta u = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.
Aqui x e y são as variáveis reais independentes. Vou calcular as derivadas parciais de u e somar as segundas derivadas para verificar se dá zero.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais primeiras de u(x,y)=e^{x}\cos y. Usando regra do produto e derivadas básicas:
\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x}\cos y,
\frac{\partial u}{\partial y} = -e^{x}\sin y.
Aqui explique: ao derivar em x, \cos y é tratada como constante; ao derivar em y, e^{x} é constante e a derivada de \cos y é -\sin y.

Passo 4

Agora as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}\cos y,
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{x}\sin y\big) = -e^{x}\cos y.
Some as duas:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = e^{x}\cos y + (-e^{x}\cos y)=0.
Portanto \Delta u=0, logo u é harmônica.

Passo 5

Agora vou encontrar uma função complexa f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) (onde z=x+iy) cuja parte real seja u. Para isso uso as equações de Cauchy–Riemann: se f é holomorfa (analítica), as partes real u e imaginária v satisfazem
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.
Estas relações permitem achar v (chamada de conjugada harmônica de u) até uma constante aditiva.

Passo 6

Use a primeira equação de Cauchy–Riemann \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}. Já calculamos \frac{\partial u}{\partial x}=e^{x}\cos y, então
\frac{\partial v}{\partial y} = e^{x}\cos y.
Integro em relação a y (tratando x como constante):
v(x,y)=\int e^{x}\cos y\,dy = e^{x}\sin y + h(x),
onde h(x) é uma função de x (constante de integração relativa a y).

Passo 7

Agora uso a segunda equação de Cauchy–Riemann \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. Temos \frac{\partial u}{\partial y}=-e^{x}\sin y, então
-e^{x}\sin y = -\frac{\partial v}{\partial x} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial x} = e^{x}\sin y.
Calcule \frac{\partial v}{\partial x} a partir da expressão v(x,y)=e^{x}\sin y + h(x):
\frac{\partial v}{\partial x} = e^{x}\sin y + h'(x).
Comparando com \frac{\partial v}{\partial x}=e^{x}\sin y obtemos h'(x)=0, logo h(x)=C (constante real). Portanto uma conjugada harmônica é
v(x,y)=e^{x}\sin y + C.
Podemos tomar C=0 para simplificar, pois adicionar constante não altera a parte real de f.

Passo 8

Forme f(z)=u(x,y)+i v(x,y). Com C=0 temos
f(z)=e^{x}\cos y + i\,e^{x}\sin y = e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Note que \cos y + i\sin y = e^{iy}, então
f(z)=e^{x}e^{iy}=e^{x+iy}=e^{z}.
Assim, f(z)=e^{z} (mais geral f(z)=e^{z}+iC) é uma função holomorfa cuja parte real é u.

Passo 9

Finalmente, mostro que v(x,y)=e^{x}\sin y também é harmônica. Calculo as derivadas:
\frac{\partial v}{\partial x} = e^{x}\sin y,\qquad \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} = e^{x}\sin y,
\frac{\partial v}{\partial y} = e^{x}\cos y,\qquad \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} = -e^{x}\sin y.
Somando:
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} = e^{x}\sin y + (-e^{x}\sin y)=0.
Logo \Delta v=0, isto é, v também é harmônica.

Resposta

u(x,y)=e^{x}\cos y é harmônica porque \displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0.\n
Uma função complexa com parte real u é f(z)=e^{z} (mais geral f(z)=e^{z}+iC).\n
A conjugada harmônica encontrada é v(x,y)=e^{x}\sin y + C (pode tomar C=0), e v também satisfaz \displaystyle \frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0.

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