Determine se a série abaixo converge ou diverge:
sumk=1^infty k!10^k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se sumk=1^inftyk!10^k converge ou diverge. Como todos os termos são positivos, uma forma eficaz é usar o teste da razão, que compara o quociente entre termos consecutivos.

Passo 2

Defina ak=k!10^k. Então o quociente entre o termo de índice k+1 e o de índice k é
ak+1ak = (k+1)!10^,k+1k!10^,k = k+110

Passo 3

Calculamos o limite desse quociente quando k cresce:
limktoinftyk+110=+infty
Como esse limite é maior que 1, o teste da razão diz que a série diverge.

Passo 4

Em particular, observa-se também que
limktoinftyak = limktoinftyk!10^k=+inftyneq 0,
e uma condição necessária para convergência de série é que seus termos tendam a zero. Isso reforça que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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