Determine se a série abaixo converge ou diverge:
sumk=1^infty k+73^k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=1^inftyk+73^k
O assunto aqui é séries numéricas, e vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta. Em seguida, para quem quiser, podemos até calcular o valor da soma usando fórmulas de séries geométricas e aritmético-geométricas.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, definimos ak = k+73^k e calculamos
L = limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty(k+1)+73^,k+1k+73^k = limktoinftyk+83(k+7) = 13

Passo 3

Como L=tfrac13<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Passo 4

Para quem quiser saber a soma exata, note que
k+73^k = k3^k ;+; 7cdot13^k,
então
sumk=1^inftyk+73^k = sumk=1^inftyk3^k ;+;7sumk=1^infty13^k
Usamos duas fórmulas bem conhecidas (válidas para |x|<1):
sumk=1^infty x^k = x1-x, sumk=1^infty k,x^k = x(1-x)^2

Passo 5

Tomando x=tfrac13, obtemos
sumk=1^infty13^k = tfrac131-tfrac13 = 1/32/3 = 12,
sumk=1^inftyk3^k = tfrac13l(1-tfrac13r)^2 = 1/3(2/3)^2 = 1/34/9 = 34
Logo
sumk=1^inftyk+73^k = 34 ;+;7cdot12 = 34 + 72 = 3 + 144 = 174

Resposta

A série converge, e seu valor é tfrac174.

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