Determine se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^infty(2 n+33 n+2)^n

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyl(2n+33n+2r)^n
Como o termo geral está elevado a n, o teste da raiz é muito adequado.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para uma série sum an, se
L = limsupntoinfty raiz[n]lvert anrvert
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 3

Aqui temos
an = l(2n+33n+2r)^n,
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raiz[n]an = 2n+33n+2 Longrightarrow limntoinftyraiz[n]an = limntoinfty2n+33n+2 = 23

Passo 4

Como o valor L=tfrac23 é estritamente menor que 1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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