Questão 4 (2 pontos)
Seja uma partícula cuja função posição é dada por:
r(t)=t i+cos ^2 t j+sin ^2 t k
a) Determine os vetores velocidade, aceleração e rapidez. (1,0 ponto)
b) Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula
r(t)=t,i+cos^2t,j+sin^2t,k
e pede em (a) o vetor velocidade v(t), o vetor aceleração a(t) e a rapidez |v(t)|; e em (b) as componentes tangencial at e normal an da aceleração. Para isso vamos usar:
  1. Definição de velocidade v(t)=r'(t) e aceleração a(t)=v'(t).
  2. A rapidez é |v(t)|=raizv(t)cdotv(t).
  3. Componente tangencial at=ddt|v(t)|.
  4. Componente normal an=raiz|a(t)|^2-at^2 (ou an=|v(t)timesa(t)||v(t)|).

Passo 2

Calcular v(t)=r'(t).
Derivando componente a componente:
ddt(t)=1, ddtl(cos^2tr)=2cos tcdot(-sin t)=-sin(2t), ddtl(sin^2tr)=2sin tcos t=sin(2t)
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v(t)=1>i-sin(2t)>j+sin(2t)>k

Passo 3

Calcular a(t)=v'(t).
Derivando cada componente de v(t):
ddt(1)=0, ddtl(-sin(2t)r)=-2cos(2t), ddtl(sin(2t)r)=2cos(2t)
Portanto
a(t)=0>i-2cos(2t)>j+2cos(2t)>k

Passo 4

Calcular a rapidez |v(t)|:
|v(t)| =raiz1^2+[-sin(2t)]^2+[sin(2t)]^2 =raiz1+2sin^2(2t)
Opcionalmente note 1+2sin^2(2t)=2-cos(4t).

Passo 5

Calcular a componente tangencial at=ddt|v(t)|.
Usando cadeia:
at =12raiz1+2sin^2(2t)cdotddtl(1+2sin^2(2t)r) =12|v|cdot4sin(2t)cos(2t) =sin(4t)raiz1+2sin^2(2t)

Passo 6

Calcular a componente normal an.
Primeiro |a(t)|^2=(-2cos(2t))^2+(2cos(2t))^2=8cos^2(2t).
Então
an =raiz|a|^2-at^2 =raiz8cos^2(2t);-;sin^2(4t)1+2sin^2(2t)
Em forma equivalente, usando |vtimesa|, obtém-se
an =2raiz2,lvertcos(2t)rvertraiz1+2sin^2(2t)

Resposta

(a) v(t)=i-sin(2t),j+sin(2t),k,
a(t)= -2cos(2t),j+2cos(2t),k,
|v(t)|=raiz1+2sin^2(2t)\n
(b) at=sin(4t)raiz1+2sin^2(2t),
an=2raiz2,lvertcos(2t)rvertraiz1+2sin^2(2t)

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