Determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Isso envolve análise de séries numéricas infinitas e, em particular, usar o teste da divergência (termo geral não nulo).
Passo 2
Precisamos estudar o termo geral
e verificar o limite quando
Passo 3
Calculamos o logaritmo de
para facilitar:
Usando a expansão em série de Taylor de
$$\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n{2}}+O\Bigl(\frac{1}{n{3}}\Bigr).
$$
Passo 4
Retomando
, obtemos
$$a_n=\exp\bigl(n-\tfrac12+O(1/n)\bigr)=e{-1/2},e{n},e^{O(1/n)},
$$
Passo 5
Pelo teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverga), concluímos que a série diverge.
Resposta
A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.