Determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(1+1n)^n^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^+infty(1+1n)^n^2
é convergente ou divergente. Isso envolve análise de séries numéricas infinitas e, em particular, usar o teste da divergência (termo geral não nulo).

Passo 2

Precisamos estudar o termo geral
an=(1+1n)^n^2
e verificar o limite quando nto+infty. Se an não tender a zero, a série diverge.

Passo 3

Calculamos o logaritmo de an para facilitar:
ln an = n^2lnl(1+1nr)
Usando a expansão em série de Taylor de ln(1+x) para x=1/n, temos
$$\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n{2}}+O\Bigl(\frac{1}{n{3}}\Bigr).
lnl(1+1nr)=1n-12n^2+Ol(1n^3r) \ln a_n = n -\frac{1}{2}+O\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr).
$$

Passo 4

Retomando an, obtemos
$$a_n=\exp\bigl(n-\tfrac12+O(1/n)\bigr)=e{-1/2},e{n},e^{O(1/n)},
an=expl(n-tfrac12+O(1/n)r)=e^-1/2,e^n,e^O(1/n), \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty\neq0.
$$

Passo 5

Pelo teste da divergência (se o termo geral não tende a zero, a série diverga), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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