Determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série
converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar conceitos de convergência de séries, além de manipular logaritmos para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que:
Isso nos ajuda a separar a expressão em duas partes mais fáceis de lidar.
Passo 3
Agora, vamos observar cada termo separadamente. Podemos reescrever os termos usando propriedades dos logaritmos:
Passo 4
Subtraindo as duas expressões, temos:
Os termos
se cancelam, sobrando:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que para valores pequenos de
,
. Então, para grandes valores de
,
é bem pequeno, e podemos aproximar:
Portanto:
Passo 6
Agora, a série original se comporta aproximadamente como:
Sabemos que a série
é uma série p com
, que é convergente porque
.
Resposta
A série
é convergente.