Determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty ln (n^2+1n^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série sumn=1^+infty ln (n^2+1n^2-1) converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar conceitos de convergência de séries, além de manipular logaritmos para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que:
ln(n^2+1n^2-1) = ln(n^2+1) - ln(n^2-1)
Isso nos ajuda a separar a expressão em duas partes mais fáceis de lidar.

Passo 3

Agora, vamos observar cada termo separadamente. Podemos reescrever os termos usando propriedades dos logaritmos:
ln(n^2+1) = ln(n^2(1 + 1n^2)) = ln(n^2) + ln(1 + 1n^2)
ln(n^2-1) = ln(n^2(1 - 1n^2)) = ln(n^2) + ln(1 - 1n^2)

Passo 4

Subtraindo as duas expressões, temos:
ln(n^2+1) - ln(n^2-1) = [ln(n^2) + ln(1 + 1n^2)] - [ln(n^2) + ln(1 - 1n^2)]
Os termos ln(n^2) se cancelam, sobrando:
ln(1 + 1n^2) - ln(1 - 1n^2)

Passo 5

Agora, vamos lembrar que para valores pequenos de x, ln(1 + x) approx x. Então, para grandes valores de n, 1n^2 é bem pequeno, e podemos aproximar:
ln(1 + 1n^2) approx 1n^2 e ln(1 - 1n^2) approx -1n^2
Portanto:
ln(1 + 1n^2) - ln(1 - 1n^2) approx 1n^2 - (-1n^2) = 2n^2

Passo 6

Agora, a série original se comporta aproximadamente como:
sumn=1^+infty 2n^2
Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^2 é uma série p com p=2, que é convergente porque p > 1.

Resposta

A série sumn=1^+infty ln (n^2+1n^2-1) é convergente.

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