Os pontos , e são vértices de um quadrado.
a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?
Passo 1
Neste exercício de geometria analítica, temos os pontos A=(2,3), B=(5,−1) e C=(1,−4) como três vértices de um quadrado. Vamos usar conceitos de distância entre pontos e operações com vetores para encontrar o quarto vértice D.
Passo 2
Calculamos as distâncias entre cada par de pontos para identificar quais são os lados do quadrado e verificar se formam ângulo reto.\n\n– \n– \n–
Passo 3
Note que e os vetores e BC=(-4,-3) satisfazem BAcdotBC=(-3)(-4)+4(-3)=0. Isso mostra que AB é perpendicular a BC, logo B é o vértice do ângulo reto e A e C são vértices adjacentes a B no quadrado.
Passo 4
Em um quadrilátero com vértices A, B, C e D onde AB e BC são lados consecutivos, o quarto vértice D pode ser obtido por soma de vetores (propriedade de paralelogramo):\n\nD = A + C − B.\n\nSubstituindo coordenadas: Dx = 2 + 1 - 5 = -2 e Dy = 3 + (-4) - (-1) = 0.