Os pontos (2,3), (5,-1) e (1,-4) são vértices de um quadrado.
a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?

Passo 1

Neste exercício de geometria analítica, temos os pontos A=(2,3), B=(5,−1) e C=(1,−4) como três vértices de um quadrado. Vamos usar conceitos de distância entre pontos e operações com vetores para encontrar o quarto vértice D.

Passo 2

Calculamos as distâncias entre cada par de pontos para identificar quais são os lados do quadrado e verificar se formam ângulo reto.\n\n– AB = raiz(5-2)^2 + (-1-3)^2 = raiz9 + 16 = 5\n– BC = raiz(1-5)^2 + (-4 +1)^2 = raiz16 + 9 = 5\n– AC = raiz(1-2)^2 + (-4-3)^2 = raiz1 + 49 = raiz50

Passo 3

Note que AB = BC = 5 e os vetores BA=(-3,4) e BC=(-4,-3) satisfazem BAcdotBC=(-3)(-4)+4(-3)=0. Isso mostra que AB é perpendicular a BC, logo B é o vértice do ângulo reto e A e C são vértices adjacentes a B no quadrado.

Passo 4

Em um quadrilátero com vértices A, B, C e D onde AB e BC são lados consecutivos, o quarto vértice D pode ser obtido por soma de vetores (propriedade de paralelogramo):\n\nD = A + C − B.\n\nSubstituindo coordenadas: Dx = 2 + 1 - 5 = -2 e Dy = 3 + (-4) - (-1) = 0.

Resposta

(-2,0)

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