Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de séries infinitas! A questão pede para determinar se a série sumn=1^infty n(23)^n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de convergência de séries e aplicar testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
  • Absolutamente convergente: uma série sum an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge.
  • Condicionalmente convergente: a série sum an converge, mas a série dos valores absolutos sum |an| diverge.
  • Divergente: a série sum an não converge.
No nosso caso, todos os termos n(23)^n são positivos, então sum |n(23)^n| = sum n(23)^n. Portanto, se a série original converge, ela também é absolutamente convergente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. Esse teste é útil para séries com termos envolvendo n!, potências ou exponenciais. O teste consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an = n(23)^n e calcular an+1:
an+1 = (n+1)(23)^n+1
Agora, calculamos a razão an+1an:
an+1an = (n+1)(23)^n+1n(23)^n = n+1n cdot 23

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = (1 + 1n) cdot 23
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 + 1n) cdot 23 = (1 + 0) cdot 23 = 23

Passo 6

Como L = 23 < 1, segundo o Teste da Razão, a série sumn=1^infty n(23)^n converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty n(23)^n é absolutamente convergente.

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