Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de séries infinitas! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de convergência de séries e aplicar testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Absolutamente convergente: uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge.
Condicionalmente convergente: a série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Divergente: a série não converge.
No nosso caso, todos os termos são positivos, então . Portanto, se a série original converge, ela também é absolutamente convergente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. Esse teste é útil para séries com termos envolvendo , potências ou exponenciais. O teste consiste em calcular o limite:
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos identificar an = n(23)^n e calcular an+1:
an+1 = (n+1)(23)^n+1
Agora, calculamos a razão an+1an:
an+1an = (n+1)(23)^n+1n(23)^n = n+1n cdot 23
Passo 5
Simplificando a expressão:
an+1an = (1 + 1n) cdot 23
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 + 1n) cdot 23 = (1 + 0) cdot 23 = 23
Passo 6
Como L = 23 < 1, segundo o Teste da Razão, a série sumn=1^infty n(23)^nconverge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty n(23)^n é absolutamente convergente.