para quais valores de p a série
sumn=2^infty 1n^p ln n
é convergente?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=2^infty 1n^pln n. Esse é um problema de séries infinitas de termos positivos, e vamos usar o teste da integral para decidir para quais p a série converge.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, consideramos a função f(x)=1x^pln x definida para x>=2. Observamos que f(x)>0 e, para x>e, ela é decrescente sempre que p>0. Então podemos comparar a série com a integral imprópria
integral2^inftydxx^pln x

Passo 3

Para calcular essa integral, usamos a substituição t=ln x, o que dá x=e^t e dx=e^tdt. O limite inferior x=2 vira t=ln2 e o limite superior xtoinfty vira ttoinfty. Assim
integral2^inftydxx^pln x= integralln2^inftye^t(e^t)^p,t,dt =integralln2^inftye^-(p-1)tt,dt

Passo 4

Agora analisamos a convergência de integralln2^inftye^-(p-1)t/t,dt:
  • Se p>1, então p-1>0 e o integrando decai exponencialmente quando ttoinfty, garantindo convergência.
  • Se p=1, a integral fica integralln2^infty1/t,dt, que diverge (logaritmo infinito).
  • Se p<1, então p-1<0 e o integrando cresce exponencialmente, logo diverge.

Passo 5

Pelo teste da integral, a série converge exatamente quando a integral associada converge. Concluímos que a série sumn=2^infty1/(n^pln n) converge apenas para $p>1.

Resposta

A série converge se, e somente se, p>1.

Exercícios relacionados