para quais valores de
a série
é convergente?
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
. Esse é um problema de séries infinitas de termos positivos, e vamos usar o teste da integral para decidir para quais
a série converge.
Passo 2
Para aplicar o teste da integral, consideramos a função
definida para
. Observamos que
e, para
, ela é decrescente sempre que
. Então podemos comparar a série com a integral imprópria
Passo 3
Para calcular essa integral, usamos a substituição
, o que dá
e
. O limite inferior
vira
e o limite superior
vira
. Assim
Passo 4
Agora analisamos a convergência de
:
- Se
, então e o integrando decai exponencialmente quando , garantindo convergência. - Se
, a integral fica , que diverge (logaritmo infinito). - Se
, então e o integrando cresce exponencialmente, logo diverge.
Passo 5
Pelo teste da integral, a série converge exatamente quando a integral associada converge. Concluímos que a série
converge apenas para $p>1.
Resposta
A série converge se, e somente se,
.