Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
11. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{\sqrt{n}}{n+1}.
O que vamos precisar:
  1. Testar a convergência absoluta, ou seja, da série
    \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{\sqrt{n}}{n+1}\biggr|.
  2. Se não for absolutamente convergente, aplicar o teste de Leibniz (série alternante) verificando que
    \displaystyle b_n=\frac{\sqrt{n}}{n+1} tende a zero e é monotona decrescente.

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1}.
Para n grande,
\frac{\sqrt{n}}{n+1}\sim\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}},
e sabemos que \sum 1/\sqrt{n} diverge (série p-com p=\tfrac12\le1). Pelo critério da comparação,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1} \quad\text{diverge},
logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternante \sum(-1)^{n-1}b_n com b_n=\frac{\sqrt{n}}{n+1}.
Primeiro,
\lim_{n\to\infty}b_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\;\frac{1}{1+1/n} =0.
Depois, mostramos que b_n é monotona decrescente para n\ge1. Considere
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1},\quad x>0.
Calculando a derivada,
f'(x) =\frac{(x+1)\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2},
e como 1-x<0 para x>1, segue f'(x)<0. Assim b_n=f(n) é decrescente.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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