Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
14. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n 3^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n\,3^{n+1}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em particular convergência absoluta.

Passo 2

Para investigar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-2)^{n}}{n\,3^{n+1}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n\,3^{n+1}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3\,n}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a a_{n}=\frac{2^{n}}{n\,3^{n+1}}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)\,3^{n+2}}}{\frac{2^{n}}{n\,3^{n+1}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2\,n}{3\,(n+1)} =\frac{2}{3}.
Como \tfrac{2}{3}<1, o teste da razão garante que a série dos valores absolutos converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (não apenas condicional).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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