Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
13. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}}{n^{2}+1}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo usado: teste da divergência de termos gerais e teste da convergência absoluta (por exemplo, teste da razão).
Passo 2
Verificamos o comportamento do termo geral \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{2^{n}}{n^{2}+1}.
Para que uma série convirja (mesmo que condicionalmente), é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Calculamos
\bigl|a_{n}\bigr|=\frac{2^{n}}{n^{2}+1}.
Como 2^{n} cresce exponencialmente e n^{2}+1 cresce apenas polinomialmente, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}+1}=\infty.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n}\quad\text{não é zero.}ãé
Pelo teste da divergência de termos gerais, a série diverge se o termo geral não tende a zero.
Passo 3
Apesar de já termos a conclusão, podemos checar a convergência absoluta: