Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
13. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n}}{n^{2}+1}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo usado: teste da divergência de termos gerais e teste da convergência absoluta (por exemplo, teste da razão).

Passo 2

Verificamos o comportamento do termo geral \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{2^{n}}{n^{2}+1}.
Para que uma série convirja (mesmo que condicionalmente), é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Calculamos
\bigl|a_{n}\bigr|=\frac{2^{n}}{n^{2}+1}.
Como 2^{n} cresce exponencialmente e n^{2}+1 cresce apenas polinomialmente, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}+1}=\infty.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n}\quad\text{não é zero.}ãé
Pelo teste da divergência de termos gerais, a série diverge se o termo geral não tende a zero.

Passo 3

Apesar de já termos a conclusão, podemos checar a convergência absoluta:
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}+1}.
Aplicando o teste da razão em \bigl|a_{n}\bigr|:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}/\bigl((n+1)^{2}+1\bigr)}{2^{n}/(n^{2}+1)} =\lim_{n\to\infty}2\cdot\frac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}+1} =2\cdot1=2>1.
Como L>1, a série de termos positivos diverge. Então não é absolutamente convergente.

Resposta

A série diverge.

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