Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
14 sumn=1^infty n!(-5)^n

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a convergência da série 14sumn=1^inftyn!(-5)^n. O conteúdo aqui é critério de convergência de séries infinitas, em especial o teste da razão para descobrir se é absolutamente convergente ou não.

Passo 2

Primeiro vamos checar convergência absoluta, ou seja, da série sum |an| onde an=14n!(-5)^n. Temos
|an|=14n!5^n
Aplicando o teste da razão em |an|:
L= limntoinfty|an+1||an| =limntoinfty14(n+1)!5^n+114n!5^n =limntoinftyn+15=infty
Como L>1, a série de valores absolutos diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Se nem mesmo a versão em módulo converge, fica difícil ter convergência condicional. Além disso, já dá pra ver que o termo geral não tende a zero:
limntoinfty14n!(-5)^nnão existe finito (anos cresce muito rápido) ãá
Pelo teste do termo geral, a série diverge.

Passo 4

Como não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente, concluímos que a série diverge.

Resposta

Divergente

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