Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
15. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5{n-1}}{(n+1){2} 4^{n+2}} $

Passo 1

O exercício pede para decidir se a série alternada sumn=1^infty (-1)^n+15^n-1(n+1)^2,4^n+2é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries (teste da razão para convergência absoluta e teste da divergência para a série original).

Passo 2

Vamos estudar a convergência absoluta, isto é, a série de termos positivos sumn=1^infty|(-1)^n+15^n-1(n+1)^2,4^n+2|=sumn=1^infty5^n-1(n+1)^2,4^n+2Para aplicar o teste da razão, calculemos L=limntoinfty5^n/((n+2)^2,4^n+3)5^n-1/((n+1)^2,4^n+2)Simplificando, obtemos L=limntoinfty54cdot(n+1)^2(n+2)^2=54>1Como L>1, a série de termos absolutos diverge.

Passo 3

Para a convergência condicional, precisamos ver se a série original converge apesar de não ser absolutamente convergente. Um requisito mínimo é que o termo geral an tenda a zero. Note que em módulo temos |an|=5^n-1(n+1)^2,4^n+2=180(5/4)^n(n+1)^2Como (5/4)^n/(n+1)^2toinfty quando ntoinfty, segue que |an|notto0. Logo annotto0, e a série não pode convergir.

Passo 4

Conclusão: como nem a série de valores absolutos converge nem a própria série satisfaz anto0, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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