Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
16. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 5^{n}}{n 3^{2 n}} $

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty (n+1)5^nn3^2n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries de termos positivos e vamos usar principalmente o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, note que 3^2n=9^n. Assim o termo geral pode ser reescrito como
an=(n+1)5^nn9^n=n+1nl(59r)^n
E como n+1n=1+1n, vemos que an>0 para todo n.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, calculamos
L=limntoinftyan+1an
Temos
an+1an=n+2n+1l(59r)^n+1n+1nl(59r)^n =n(n+2)(n+1)^2cdot59
Como
limntoinftyn(n+2)(n+1)^2=1
vemos que
L=59<1

Passo 4

Como o limite do teste da razão é menor que 1, a série converge. E como todos os termos são positivos, a convergência é absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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