Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
16. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 5^{n}}{n 3^{2 n}} $
16. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 5^{n}}{n 3^{2 n}} $
Passo 1
O exercício pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries de termos positivos e vamos usar principalmente o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, note que
. Assim o termo geral pode ser reescrito como
E como
, vemos que
para todo
.
Passo 3
Aplicando o teste da razão, calculamos
Temos
Como
vemos que
Passo 4
Como o limite do teste da razão é menor que 1, a série converge. E como todos os termos são positivos, a convergência é absoluta.
Resposta
A série é absolutamente convergente.