resolva
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente do produto escalar de dois campos vetoriais
e
. Esse conteúdo envolve a regra de produto em cálculo vetorial e identidades que relacionam derivadas parciais aos operadores gradiente e rotacional.
Passo 2
Vamos usar notação de índices: escrevemos
e
. Assim
Passo 3
Para o primeiro termo, separamos
em duas partes:
Passo 4
Observamos que
e que
.
Passo 5
Fazemos a mesma coisa no segundo termo:
Passo 6
onde
e
.
Passo 7
Juntando tudo, achegamos à identidade final integrando os quatro termos resultantes.
Resposta
[\nabla(A\cdot B) = (B\cdot\nabla)A + (A\cdot\nabla)B + B\times(\nabla\times A) + A\times(\nabla\times B)]