resolva nabla(A cdot B)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente do produto escalar de dois campos vetoriais A e B. Esse conteúdo envolve a regra de produto em cálculo vetorial e identidades que relacionam derivadas parciais aos operadores gradiente e rotacional.

Passo 2

Vamos usar notação de índices: escrevemos nabla= ei,partiali e Acdot B=AjBj. Assim
nabla(Acdot B)= ei,partiali(AjBj)= eil((partialiAj)Bj + Aj(partialiBj)r)

Passo 3

Para o primeiro termo, separamos BjpartialiAj em duas partes:
BjpartialiAj = BjpartialjAi + Bjl(partialiAj-partialjAir)

Passo 4

Observamos que BjpartialjAi, ei=(Bcdotnabla)A e que Bj(partialiAj-partialjAi), ei = Btimes(nablatimes A).

Passo 5

Fazemos a mesma coisa no segundo termo:
AjpartialiBj = AjpartialjBi + Aj(partialiBj-partialjBi),

Passo 6

onde AjpartialjBi, ei=(Acdotnabla)B e Aj(partialiBj-partialjBi), ei = Atimes(nablatimes B).

Passo 7

Juntando tudo, achegamos à identidade final integrando os quatro termos resultantes.

Resposta

[\nabla(A\cdot B) = (B\cdot\nabla)A + (A\cdot\nabla)B + B\times(\nabla\times A) + A\times(\nabla\times B)]

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