Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^nn
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos testar primeiro a convergência absoluta e depois a convergência pela alternância de sinais (teste de Leibniz).

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty|(-1)^nn| =sumn=1^infty1n
Esta é a série harmônica, que corresponde a uma série p- com p=1. Como p<=1, a série diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série original. Seja
bn = 1n
Observamos que bn>0 para todo n, que (bn) é decrescente pois
1n+1<1n,
e que
limntoinftybn=0.
Pelo teste de séries alternadas (Leibniz), a série
sumn=1^infty(-1)^nbn
converge.

Passo 4

Como a série diverge absolutamente (Passo 2) mas converge segundo o critério de Leibniz (Passo 3), concluímos que ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nn é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados