Exercício 18. (ELJ 90) Seja f: R^3 R^2 dada por
f(x, y, z)=(x^2+y^2-z^2, x-y-a)
Para que valores de a vale a seguinte propriedade: Se (x, y, z) in f^-1(0), então d f(x, y, z): R^3 R^2 é sobrejetora. (Observação: Neste caso, o valor 0 é chamado de valor regular)

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon R^3toR^2, f(x,y,z)=l(x^2+y^2-z^2,,x-y-ar)
e pede para achar os valores de a tais que, sempre que (x,y,z)in f^-1(0), a diferencial
d f(x,y,z)colon R^3toR^2
é sobrejetora. Em teoria de valores regulares, isso equivale a exigir que a matriz Jacobiana de f em cada ponto de f^-1(0) tenha posto 2.

Passo 2

Vamos calcular a Jacobiana de f. Chamando
f1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2, f2(x,y,z)=x-y-a,
temos
d f(x,y,z) = partial f1partial x & partial f1partial y & partial f1partial z[6pt] partial f2partial x & partial f2partial y & partial f2partial z = 2x & 2y & -2z[4pt] 1 & -1 & 0 ]

Passo 3

Para que d f(x,y,z) seja sobrejetora, seu posto deve ser 2, ou seja, as duas linhas não podem ser proporcionais. Se houvesse proporcionalidade
(2x,2y,-2z)=lambda,(1,-1,0)
então do terceiro componente viria -2z=lambdacdot0, logo
z=0,
e dos dois primeiros
2x=lambda, 2y=-lambda Longrightarrow 2x=-2y Longrightarrow x=-y
Portanto a única forma de o posto cair para 1 é quando
z=0 e x=-y

Passo 4

Agora impomos que (x,y,z) pertença a f^-1(0). Isso exige
f2=0 Longrightarrow x-y-a=0 Longrightarrow x=y+a,
f1=0 Longrightarrow x^2+y^2-z^2=0
Queremos ver se há pontos em f^-1(0) que também satisfaçam z=0 e x=-y. Substituindo z=0 e x=-y em x^2+y^2=0
(-y)^2+y^2=2y^2=0 Longrightarrow y=0 Longrightarrow x=0
Em seguida, da condição x-y-a=0 vem
0-0-a=0 Longrightarrow a=0
Logo o único caso em que existe ponto de f^-1(0) com diferencial não sobrejetora é a=0.

Passo 5

Concluímos que, para aneq0, não há ponto em f^-1(0) onde as linhas da Jacobiana fiquem proporcionais, ou seja, em todo ponto de f^-1(0) temos posto 2 e d f é sobrejetora.

Resposta

Para todos os valores de aneq0.

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