Exercício 18. (ELJ 90) Seja
dada por
Para que valores de
vale a seguinte propriedade: Se
, então
é sobrejetora. (Observação: Neste caso, o valor 0 é chamado de valor regular)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para achar os valores de
tais que, sempre que
, a diferencial
é sobrejetora. Em teoria de valores regulares, isso equivale a exigir que a matriz Jacobiana de
em cada ponto de
tenha posto
.
Passo 2
Vamos calcular a Jacobiana de
. Chamando
temos
Passo 3
Para que
d f(x,y,z) seja sobrejetora, seu posto deve ser
2 , ou seja, as duas linhas não podem ser proporcionais. Se houvesse proporcionalidade
então do terceiro componente viria
-2z=lambdacdot0 , logo
e dos dois primeiros
Portanto a única forma de o posto cair para
1 é quando
Passo 4
Agora impomos que
(x,y,z) pertença a
f^-1(0) . Isso exige
Queremos ver se há pontos em
f^-1(0) que também satisfaçam
z=0 e
x=-y . Substituindo
z=0 e
x=-y em
x^2+y^2=0 dá
Em seguida, da condição
x-y-a=0 vem
Logo o único caso em que existe ponto de
f^-1(0) com diferencial não sobrejetora é
a=0 .
Passo 5
Concluímos que, para
aneq0 , não há ponto em
f^-1(0) onde as linhas da Jacobiana fiquem proporcionais, ou seja, em todo ponto de
f^-1(0) temos posto
2 e
d f é sobrejetora.
Resposta
Para todos os valores de
aneq0 .