Exercício 19. (ELJ 102) Seja
uma função de classe
. Sejam
dado por
e
dado por
.
a) Mostre que
.
b) Mostre que se
, então
é sobrejetora.
c) Mostre que
.
d) Mostre que
é injetora.
a) Mostre que
b) Mostre que se
c) Mostre que
d) Mostre que
Passo 1
O enunciado apresenta uma função de classe
,
e define
Queremos mostrar:
a) .
b) Para , o diferencial
é sobrejetor.
c) .
d) O diferencial é injetor.
a)
b) Para
c)
d) O diferencial
Passo 2
Mostrar que
e este último conjunto é exatamente
Passo 3
Como
é
, para todo
o diferencial
é dado por derivação de
em
e de
em
. Logo, para
,
Para verificar sobrejeção, dado um
basta escolher
. Então
mostrando que todo
sai na imagem de
.
Passo 4
Por definição
e isso coincide com
.
Passo 5
O diferencial de
em
é a aplicação linear
Se
, então
(pela primeira componente), e automaticamente
. Logo o núcleo de
é trivial, isto é,
é injetora.
Resposta
a)
.
b) Para todo ,
é sobrejetora.
c) .
d) Para todo ,
é injetora.
b) Para todo
c)
d) Para todo