Exercício 19. (ELJ 102) Seja f: R^n R^k uma função de classe C^1. Sejam F: R^n times R^k R^k dado por F(x, y)=f(x)-y e G: R^n R^n times R^k dado por G(x)=(x, f(x)).
a) Mostre que graf(f)=(x, f(x)) ; x in R^n=F^-1(0).
b) Mostre que se (x, y) in F^-1(0), então d F(x, y): R^n times R^k R^k é sobrejetora.
c) Mostre que graf(f)=Ima>=m(G).
d) Mostre que d G: R^n R^n times R^k é injetora.

Passo 1

O enunciado apresenta uma função de classe C^1,
fcolon R^ntoR^k,
e define
Fcolon R^ntimesR^ktoR^k, F(x,y)=f(x)-y,
Gcolon R^ntoR^ntimesR^k, G(x)=(x,f(x))
Queremos mostrar:
a) graf(f)=F^-1(0).
b) Para (x,y)in F^-1(0), o diferencial dF(x,y) é sobrejetor.
c) graf(f)=Im(G).
d) O diferencial dG(x) é injetor.

Passo 2

Mostrar que
F^-1(0)=(x,y)mid F(x,y)=0 =(x,y)mid f(x)-y=0 =(x,y)mid y=f(x),
e este último conjunto é exatamente
graf(f)=(x,f(x))mid xinR^n

Passo 3

Como f é C^1, para todo (x,y) o diferencial
dF(x,y)colon R^ntimesR^ktoR^k
é dado por derivação de f(x) em x e de -y em y. Logo, para (u,v)inR^ntimesR^k,
dF(x,y)[u,v] =Df(x)[u];-;v
Para verificar sobrejeção, dado um winR^k basta escolher (u,v)=(0,-w). Então
dF(x,y)[0,-w] = Df(x)[0]-(-w)=w,
mostrando que todo w sai na imagem de dF(x,y).

Passo 4

Por definição
Im(G) =,G(x)mid xinR^n =(x,f(x))mid xinR^n,
e isso coincide com
graf(f).

Passo 5

O diferencial de G em x é a aplicação linear
dG(x)colon R^nto R^ntimesR^k,
dG(x)[h] =l(h,;Df(x)[h]r)
Se dG(x)[h]=(0,0), então h=0 (pela primeira componente), e automaticamente Df(x)[h]=0. Logo o núcleo de dG(x) é trivial, isto é, dG(x) é injetora.

Resposta

a) graf(f)=F^-1(0).
b) Para todo (x,y)in F^-1(0), dF(x,y) é sobrejetora.
c) graf(f)=Im(G).
d) Para todo x, dG(x) é injetora.

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