Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=3^infty(-1)^n,nn^2+9
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries numéricas: teste de comparação para a convergência absoluta e critério de Leibniz (série alternante) para a convergência condicional.

Passo 2

Para a convergência absoluta consideramos a série dos módulos
sumn=3^infty|(-1)^nnn^2+9| =sumn=3^inftynn^2+9
Para grandes n temos
nn^2+9simnn^2=1n,
e como a série harmônica sum1/n diverge, pelo teste de comparação limite concluímos que
sumn=3^inftynn^2+9
também diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para a convergência condicional usamos o critério de Leibniz para séries alternantes sum(-1)^nan. Definimos
an=nn^2+9, an>0
  1. Verificamos o limite
limntoinftyan =limntoinftynn^2+9=0
  1. Mostramos que an é decrescente para n>=3. Considere a função contínua
f(x)=xx^2+9, x>=3
Calculamos
f'(x) =(x^2+9)cdot1 - xcdot2x(x^2+9)^2 =9 - x^2(x^2+9)^2<0 para x>3
Assim, f (e portanto an=f(n)) é decrescente para n>=4. Logo as hipóteses do critério de Leibniz estão satisfeitas e a série alternante converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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