Exercício 12 (ELJ 82)
Verifique se x^3+x y^2+y^3=1 pode ser dada localmente no ponto (1,0) por x=x(y). E por y=y(x) ? Determine a reta tangente em (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
F(x,y)=x^3+x,y^2+y^3-1=0
e pede para verificar, no ponto (1,0), se podemos escrever localmente x como função de y (isto é, x=x(y)) e y como função de x (isto é, y=y(x)), usando o Teorema da Função Implícita. Depois, pede a reta tangente à curva em (1,0).

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Função Implícita na forma x=x(y), precisamos de
partial Fpartial x(1,0)neq0
Calculando
partial Fpartial x(x,y)=3x^2+y^2
vemos que em (1,0)
partial Fpartial x(1,0)=3cdot1^2+0^2=3neq0
Logo, existe função x(y) definida e diferenciável perto de y=0.

Passo 3

Para escrever y=y(x) precisaríamos de
partial Fpartial y(1,0)neq0
Mas
partial Fpartial y(x,y)=2xy+3y^2
e em (1,0)
partial Fpartial y(1,0)=2cdot1cdot0+3cdot0^2=0
Como o gradiente em y se anula, o teorema não garante y como função de x, e de fato não podemos resolver unicamente y=y(x) nessa vizinhança.

Passo 4

Para achar a reta tangente, é prático usar x=x(y). Diferenciando F(x(y),y)=0 em relação a y
partial Fpartial x,dxdy+partial Fpartial y=0 Longrightarrow dxdy=-FyFx
Em (1,0) isso vale
dxdy|(1,0)=-03=0,
ou seja, a variação de x com y é zero e o segmento de reta tangente é vertical. Portanto a reta tangente é
x=1

Resposta

Podemos escrever localmente x como função de y, mas não y como função de x.
A reta tangente em (1,0) é x=1.

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