Exercício 12 (ELJ 82)
Verifique se pode ser dada localmente no ponto por . E por ? Determine a reta tangente em .
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede para verificar, no ponto , se podemos escrever localmente como função de (isto é, ) e como função de (isto é, ), usando o Teorema da Função Implícita. Depois, pede a reta tangente à curva em .
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Função Implícita na forma , precisamos de
Calculando
vemos que em
Logo, existe função definida e diferenciável perto de .
Passo 3
Para escrever precisaríamos de
Mas
e em
Como o gradiente em se anula, o teorema não garante como função de , e de fato não podemos resolver unicamente nessa vizinhança.
Passo 4
Para achar a reta tangente, é prático usar . Diferenciando em relação a dá
Em isso vale
ou seja, a variação de x com y é zero e o segmento de reta tangente é vertical. Portanto a reta tangente é
x=1
Resposta
Podemos escrever localmente x como função de y, mas não y como função de x.
A reta tangente em (1,0) é x=1.