Questão 2: (10 pontos) Calcule as derivadas laterais f+^prime(1) e f-^prime(1) de f(x)=l2 x^2+4(x<1) 4 x+2(x >= 1) e responda se f(x) é derivável em x=1.
& f+^prime(x)=4 Rightarrow f+^prime(1)=4 & f-^prime(x)=4 x Rightarrow f-^prime(1)=4 cdot 1=4
Portanto, f(x) i deriva’vel em x=1, pois as derinadas laterais - sáo iguais.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
Precisamos calcular as derivadas laterais e verificar se é derivável em . Para isso usamos a diferenciabilidade das funções polinomiais em cada ramo.

Passo 2

Para x<1, f(x)=2x^2+4 é um polinômio, logo
f-^prime(x)=ddx(2x^2+4)=4x
e, ao avaliar em x=1,
f-^prime(1)=4cdot1=4

Passo 3

Para x>1, f(x)=4x+2 é também polinomial, logo
f+^prime(x)=ddx(4x+2)=4
e, ao avaliar em x=1,
f+^prime(1)=4

Passo 4

Como as derivadas laterais coincidem,
f-^prime(1)=f+^prime(1)=4,
e além disso
limxto1^-f(x)=2cdot1^2+4=6, limxto1^+f(x)=4cdot1+2=6, f(1)=6,
a função é contínua em x=1. Portanto f é derivável em x=1.

Resposta

f-^prime(1)=4, f+^prime(1)=4; logo f é derivável em x=1.

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