Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot e^{2 n}+1}{e^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,e^{2n} + 1}{e^{2n}}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergente. Vamos usar o teste do termo geral e, para isso, precisamos simplificar o termo geral.

Passo 2

Simplificando o termo geral temos
a_{n} = \frac{(-1)^{n}\,e^{2n} + 1}{e^{2n}} = (-1)^{n} + e^{-2n}.

Passo 3

Para que uma série convirja, é necessário (mas não suficiente) que o termo geral tenda a zero. Calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl((-1)^{n} + e^{-2n}\bigr).
Como \lim_{n\to\infty}e^{-2n}=0, o comportamento de a_{n} fica (-1)^{n}, que oscila entre +1 e -1. Logo, \lim_{n\to\infty}a_{n} não existe (não é zero).

Passo 4

Pelo teste do termo geral, como \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq0, a série diverge imediatamente. Portanto não é convergente nem absoluta nem condicionalmente.

Resposta

A série é divergente.

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