Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \ln n}{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln n}{n}
e decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar dos testes de convergência absoluta (comparação ou integral) e do Teste de Leibniz (alternância, decrescimento de a_n e limite nulo).

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, estudamos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\,-1^{n}\frac{\ln n}{n}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.
Aplicamos o teste da integral: considere
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Fazendo u=\ln x, du=dx/x, obtemos
\int_{1}^{\infty}\ln x\;\frac{dx}{x} =\int_{0}^{\infty}u\,du =\Bigl[\tfrac12u^{2}\Bigr]_{0}^{\infty} =\infty.
Como a integral diverge, a série de termos positivos \sum \frac{\ln n}{n} também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Para a convergência condicional, usamos o Teste de Leibniz na série \sum(-1)^{n}a_{n} com a_{n}=\frac{\ln n}{n}.
  1. Limite nulo:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
  1. Monotonicidade a partir de certo N: considere f(x)=\frac{\ln x}{x}.
f'(x) =\frac{1-\ln x}{x^{2}},
que é negativa para x>e. Portanto para n\ge3, a_{n} é decrescente. Pelo Teste de Leibniz, a série alternante converge.

Resposta

A série não é absolutamente convergente e satisfaz as condições do Teste de Leibniz, portanto ela é condicionalmente convergente.

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