Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, justificando. As informações do problema são:
- A série tem termo geral
. - Para
temos ; para os termos são positivos porque .
A pergunta é única: determinar se a soma infinita acima converge ou diverge, com justificativa.
Passo 2
Escolha do método (explicando por quê, de forma simples e prática).
- Como os termos são positivos (a partir de
), é natural usar testes de comparação com séries conhecidas de termos positivos. - Uma série muito útil para comparação é a série p (p-series)
, cuja convergência é bem conhecida: converge se, e somente se, . - Vou comparar
com uma p-série convergente simples, por exemplo . A ideia: se for (assintoticamente) muito menor que , e como converge, então a série dada também converge. - Para formalizar a comparação utilizarei a versão do teste da comparação baseada no limite (limite entre termos).
Passo 3
Lembrete/mini-aula sobre a p-série e o resultado que usarei.
- A p-série é
. - Teorema (conhecido):
converge se, e somente se, ; diverge se . - Aqui vou usar que
converge (caso clássico com ). Esse é um comparador conveniente porque é simples e converge.
Passo 4
Lembrete/mini-aula sobre o teste da comparação pelo limite (limit comparison test).
- Seja
e sequências com , . Se existir
então:
- Se
, as séries e convergem ou divergem juntas. - Se
e converge, então também converge. - Se
e diverge, então diverge. - No nosso caso vou tomar
e . Vou calcular .
Passo 5
Cálculo do limite necessário para o teste da comparação.
- Primeiro escrevo a razão:
- Portanto preciso avaliar
- Mini-aula: por que esse limite é zero? Uma maneira simples (com um pouco de cálculo) é considerar a função contínua
para e aplicar a regra de l’Hôpital ao limite quando : - Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
. - Aplicando l’Hôpital:
- Derivada do numerador:
- Como o limite contínuo vale
, o limite discreto também vale :
Passo 6
Conclusão pela versão do teste da comparação.
- Encontramos
. - Sabemos que
converge (p-série com ). - Pelo item do teste do passo 4: se
e converge, então também converge. - Logo a série
converge. - Como os termos são não negativos, isso significa convergência absoluta (a noção de “absoluta” aqui coincide com simples convergência já que os termos são positivos).
Resposta
A série
converge.