Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{3}}
converge ou diverge, justificando. As informações do problema são:
  • A série tem termo geral a_n=\dfrac{\ln(n)}{n^{3}}.
  • Para n=1 temos a_1=\dfrac{\ln(1)}{1^{3}}=0; para n\ge2 os termos são positivos porque \ln(n)>0.
    A pergunta é única: determinar se a soma infinita acima converge ou diverge, com justificativa.

Passo 2

Escolha do método (explicando por quê, de forma simples e prática).
  • Como os termos são positivos (a partir de n=2), é natural usar testes de comparação com séries conhecidas de termos positivos.
  • Uma série muito útil para comparação é a série p (p-series) \sum 1/n^{p}, cuja convergência é bem conhecida: converge se, e somente se, p>1.
  • Vou comparar \dfrac{\ln(n)}{n^{3}} com uma p-série convergente simples, por exemplo \dfrac{1}{n^{2}}. A ideia: se \dfrac{\ln(n)}{n^{3}} for (assintoticamente) muito menor que \dfrac{1}{n^{2}}, e como \sum 1/n^{2} converge, então a série dada também converge.
  • Para formalizar a comparação utilizarei a versão do teste da comparação baseada no limite (limite entre termos).

Passo 3

Lembrete/mini-aula sobre a p-série e o resultado que usarei.
  • A p-série é \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}.
  • Teorema (conhecido): \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
  • Aqui vou usar que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge (caso clássico com p=2>1). Esse é um comparador conveniente porque é simples e converge.

Passo 4

Lembrete/mini-aula sobre o teste da comparação pelo limite (limit comparison test).
  • Seja (a_n) e (b_n) sequências com a_n\ge0, b_n>0. Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},
então:
  • Se 0<L<\infty, as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.
  • Se L=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Se L=+\infty e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
  • No nosso caso vou tomar a_n=\dfrac{\ln(n)}{n^{3}} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Vou calcular L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}.

Passo 5

Cálculo do limite necessário para o teste da comparação.
  • Primeiro escrevo a razão:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{\ln(n)}{n^{3}}}{\dfrac{1}{n^{2}}}=\frac{\ln(n)}{n}.
  • Portanto preciso avaliar
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}.
  • Mini-aula: por que esse limite é zero? Uma maneira simples (com um pouco de cálculo) é considerar a função contínua f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} para x>0 e aplicar a regra de l’Hôpital ao limite quando x\to\infty:
    • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.
    • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}x=1.
    • Aplicando l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}= \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
  • Como o limite contínuo vale 0, o limite discreto também vale 0:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0.

Passo 6

Conclusão pela versão do teste da comparação.
  • Encontramos L=0.
  • Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (p-série com p=2).
  • Pelo item do teste do passo 4: se \lim \dfrac{a_n}{b_n}=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Logo a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln(n)}{n^{3}} converge.
  • Como os termos são não negativos, isso significa convergência absoluta (a noção de “absoluta” aqui coincide com simples convergência já que os termos são positivos).

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln(n)}{n^{3}} converge.

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