Explicação didática: conforme n cresce, \sqrt{n} cresce sem limite, então a fração \dfrac{1}{\sqrt{n}} fica cada vez menor e tende a zero. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 escolhe-se N tal que 1/\sqrt{N}<\varepsilon; isso é possível pois \sqrt{N} pode ser feito arbitrariamente grande.
Passo 3
Verificar que a sequência b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} é monotonicamente decrescente (para n\ge1). Mostro diretamente:
\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}
é equivalente a
\sqrt{n}<\sqrt{n+1},
o que é verdade para todo n\ge1. Portanto b_{n+1}<b_n para todo n, logo (b_n) é decrescente.
Passo 4
Aplicar o teste de série alternante (teste de Leibniz). Enunciado do teste (explicado): se (b_n) é uma sequência positiva tal que
b_{n+1}\le b_n para todo n (sequência decrescente), e
\lim_{n\to\infty} b_n=0,
então a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n
converge.
Já verificamos nos passos anteriores que b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} é positiva, decrescente e tende a zero. Portanto, pela condição do teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
converge.
Comentário prático (útil para prova): para uma série alternante que satisfaz as hipóteses, o erro ao truncar após N termos (resto) tem módulo bounded by the next term:
Isto é uma série p-com tipo \sum 1/n^{p} com p=\tfrac{1}{2}. Pelo teste das séries p (resultado padrão: \sum 1/n^{p} converge se, e somente se, p>1), a série com p=\tfrac{1}{2} diverge. Para dar uma demonstração rápida usando o teste da integral: considere
logo pela comparação com a integral (ou pelo resultado do p-teste) a série \sum_{n=1}^{\infty} 1/\sqrt{n} diverge. Assim a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Conclusão final e interpretação: a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} converge pelo teste de séries alternantes, mas a série dos valores absolutos diverge; portanto a convergência é condicional (converge, mas não converge absolutamente).
Mantém-se calmo: quando vês uma série alternante cuja magnitude dos termos é decrescente e tende a zero, imediatamente pensa no teste de Leibniz — é uma ferramenta rápida e confiável para provas.