Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
converge ou diverge, justificando. Informações que temos do enunciado:
  • Os termos da série são a_n=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
  • Os sinais alternam por causa do fator (-1)^{n}.
  • A magnitude dos termos é b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0.
O objetivo é decidir (com justificativa) se a série converge e, se converge, se é absolutamente convergente ou apenas condicional.

Passo 2

Verificar o limite dos termos em módulo: mostro que
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Explicação didática: conforme n cresce, \sqrt{n} cresce sem limite, então a fração \dfrac{1}{\sqrt{n}} fica cada vez menor e tende a zero. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 escolhe-se N tal que 1/\sqrt{N}<\varepsilon; isso é possível pois \sqrt{N} pode ser feito arbitrariamente grande.

Passo 3

Verificar que a sequência b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} é monotonicamente decrescente (para n\ge1). Mostro diretamente:
\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}
é equivalente a
\sqrt{n}<\sqrt{n+1},
o que é verdade para todo n\ge1. Portanto b_{n+1}<b_n para todo n, logo (b_n) é decrescente.

Passo 4

Aplicar o teste de série alternante (teste de Leibniz). Enunciado do teste (explicado): se (b_n) é uma sequência positiva tal que
  1. b_{n+1}\le b_n para todo n (sequência decrescente), e
  2. \lim_{n\to\infty} b_n=0,
    então a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n
converge.
Já verificamos nos passos anteriores que b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} é positiva, decrescente e tende a zero. Portanto, pela condição do teste de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
converge.
Comentário prático (útil para prova): para uma série alternante que satisfaz as hipóteses, o erro ao truncar após N termos (resto) tem módulo bounded by the next term:
\left| \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n - \sum_{n=1}^{N} (-1)^{n} b_n \right| \le b_{N+1}.
Ou seja, o termo seguinte controla a precisão da soma parcial.

Passo 5

Verificar convergência absoluta. Consideramos a série das magnitudes:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/2}}.
Isto é uma série p-com tipo \sum 1/n^{p} com p=\tfrac{1}{2}. Pelo teste das séries p (resultado padrão: \sum 1/n^{p} converge se, e somente se, p>1), a série com p=\tfrac{1}{2} diverge. Para dar uma demonstração rápida usando o teste da integral: considere
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{t}=\lim_{t\to\infty} (2\sqrt{t}-2)=\infty,
logo pela comparação com a integral (ou pelo resultado do p-teste) a série \sum_{n=1}^{\infty} 1/\sqrt{n} diverge. Assim a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Conclusão final e interpretação: a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} converge pelo teste de séries alternantes, mas a série dos valores absolutos diverge; portanto a convergência é condicional (converge, mas não converge absolutamente).
Mantém-se calmo: quando vês uma série alternante cuja magnitude dos termos é decrescente e tende a zero, imediatamente pensa no teste de Leibniz — é uma ferramenta rápida e confiável para provas.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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