Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O exercício pede para classificar a série alternada . O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular: convergência absoluta (teste da comparação ou comparação-limite) e teste de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Para testar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
Vamos usar o teste da comparação-limite com a série harmônica sum1/n. Calculamos:
limntoinftyn^2n^3+n^2+11/n =limntoinftyn^3n^3+n^2+1 =1 Como esse limite é finito e não nulo, a série de valores absolutos diverge assim como a harmônica.
Passo 3
Agora verificamos as condições do teste de Leibniz para a série alternada sum(-1)^nan com an=n^2n^3+n^2+1:
an>0 para todo n>=0.
limntoinftyan=0, pois
limntoinftyn^2n^3+n^2+1=0
an é eventualmente decrescente. Podemos definir f(x)=x^2x^3+x^2+1 e ver que
f'(x)=2x(x^3+x^2+1)-x^2(3x^2+2x)(x^3+x^2+1)^2 =-x^4+2x(x^3+x^2+1)^2, que é negativo para x>=2. Logo, an+1 a partir de n=2.
Passo 4
Pelas hipóteses satisfeitas do teste de Leibniz (termo geral tendendo a zero e termos decrescentes em módulo), a série alternada converge.
Passo 5
Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste de Leibniz, concluímos que ela é condicionalmente convergente.