Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
b^prime) sumn=0^infty(-1)^n n^2n^3+n^2+1

Passo 1

O exercício pede para classificar a série alternada sumn=0^infty(-1)^nn^2n^3+n^2+1. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular: convergência absoluta (teste da comparação ou comparação-limite) e teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
sumn=0^infty|(-1)^nn^2n^3+n^2+1| =sumn=0^inftyn^2n^3+n^2+1 Vamos usar o teste da comparação-limite com a série harmônica sum1/n. Calculamos:
limntoinftyn^2n^3+n^2+11/n =limntoinftyn^3n^3+n^2+1 =1 Como esse limite é finito e não nulo, a série de valores absolutos diverge assim como a harmônica.

Passo 3

Agora verificamos as condições do teste de Leibniz para a série alternada sum(-1)^nan com an=n^2n^3+n^2+1:
  1. an>0 para todo n>=0.
  2. limntoinftyan=0, pois
limntoinftyn^2n^3+n^2+1=0
  1. an é eventualmente decrescente. Podemos definir f(x)=x^2x^3+x^2+1 e ver que
f'(x)=2x(x^3+x^2+1)-x^2(3x^2+2x)(x^3+x^2+1)^2 =-x^4+2x(x^3+x^2+1)^2, que é negativo para x>=2. Logo, an+1 a partir de n=2.

Passo 4

Pelas hipóteses satisfeitas do teste de Leibniz (termo geral tendendo a zero e termos decrescentes em módulo), a série alternada converge.

Passo 5

Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste de Leibniz, concluímos que ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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