Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a convergência da série de termo geral
. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste da comparação com séries-p e comportamento assintótico de
.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral para entender melhor a taxa de decaimento. Usando propriedades de logaritmo e exponencial, temos
Passo 3
Observamos que o expoente
cresce sem limite conforme
. Logo, para
grande,
torna-se maior que qualquer constante fixa.
Em particular, existe tal que para todo
vale
. Assim, para esses
,
Em particular, existe
Passo 4
Como a série
(série-p com
) converge, pelo teste da comparação concluímos que a cauda da nossa série também converge.
Logo, a série converge. Como todos os termos são positivos, ela converge absolutamente.
Logo, a série
Resposta
A série é absolutamente convergente.