Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1(ln n)^ln n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série de termo geral an = 1(ln n)^ln n. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste da comparação com séries-p e comportamento assintótico de an.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para entender melhor a taxa de decaimento. Usando propriedades de logaritmo e exponencial, temos
an = 1(ln n)^ln n = e^-lnl((ln n)^ln nr) = e^-ln n cdot ln(ln n) = n^-ln(ln n)

Passo 3

Observamos que o expoente ln(ln n) cresce sem limite conforme ntoinfty. Logo, para n grande, ln(ln n) torna-se maior que qualquer constante fixa.
Em particular, existe N tal que para todo n>= N vale ln(ln n)>2. Assim, para esses n,
an = n^-ln(ln n) < n^-2

Passo 4

Como a série sum n^-2 (série-p com p=2>1) converge, pelo teste da comparação concluímos que a cauda da nossa série também converge.
Logo, a série sumn=2^infty 1(ln n)^ln n converge. Como todos os termos são positivos, ela converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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