Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}

Passo 1

O enunciado pede a natureza da convergência da série alternante
sumn=1^infty(-1)^n,nraizn^3+2
O conteúdo principal é teste de convergência de séries: vamos primeiro analisar a convergência absoluta (comparando com um p-série) e depois aplicar o critério de Leibniz (séries alternantes).

Passo 2

Análise da convergência absoluta. Considere
sumn=1^inftyl|!(-1)^n,nraizn^3+2r| =sumn=1^inftynraizn^3+2
Para n grande temos
nraizn^3+2 =nn^3/2raiz1+2/n^3 =1n^1/2cdot1raiz1+2/n^3 sim1n^1/2
Como sum 1/n^1/2 é um p-série com p=tfrac12<1, essa série diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Análise da convergência condicional pelo critério de Leibniz. Defina
an=nraizn^3+2>0
(1) Verificamos que limntoinftyan=0, pois ansim1/raiznto0.
(2) Mostramos que an é decrescente para n grande: considere a função
f(x)=xraizx^3+2, x>0
Calculando a derivada,
f'(x) =(x^3+2)^1/2-tfrac32,x^3(x^3+2)^-1/2,x^3+2 =2-tfrac12,x^3(x^3+2)^3/2,
que é negativa para x>raiz[3]4. Assim an=f(n) é decrescente a partir de n>=2.
Pelo critério de Leibniz (série alternante com termos decrescentes a zero), concluímos que
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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