Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n+1}
Passo 1
Resumindo: temos a série de potências
e queremos o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é teste da razão para séries de potências e análise dos extremos pelo teste de Leibniz e teste da divergência.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão. Denotando
temos
e, ao fazer ntoinfty,
limntoinfty|an+1an| =|x|
Segundo o teste da razão, a série converge se |x|<1.
Passo 3
Concluímos que o raio de convergência é
R=1
Passo 4
Agora testamos os extremos:
x=1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^nn+1,
que é a série alternada cujos termos tfrac1n+1 decrescem para zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge (condicionalmente).
Passo 5
x=-1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge. Pelo teste da divergência, não converge neste ponto.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é