Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n+1}

Passo 1

Resumindo: temos a série de potências
sumn=0^infty(-1)^nx^nn+1
e queremos o raio de convergência R e o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é teste da razão para séries de potências e análise dos extremos pelo teste de Leibniz e teste da divergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Denotando
an=(-1)^nx^nn+1,
temos
|an+1an| =|(-1)^n+1x^n+1n+2cdotn+1(-1)^n x^n| =n+1n+2,|x|
e, ao fazer ntoinfty,
limntoinfty|an+1an| =|x|
Segundo o teste da razão, a série converge se |x|<1.

Passo 3

Concluímos que o raio de convergência é
R=1

Passo 4

Agora testamos os extremos:
x =1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^nn+1,
que é a série alternada cujos termos tfrac1n+1 decrescem para zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge (condicionalmente).

Passo 5

x =- 1. A série fica
sumn=0^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge. Pelo teste da divergência, não converge neste ponto.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
-1<x<=1

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