Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A questão é avaliar a convergência (absoluta/condicional/divergente) dessa série infinita.
Passo 2
Estratégia e conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
- Primeiro vamos estudar a série das magnitudes (valores absolutos) porque se a série das magnitudes convergir, então a série original converge absolutamente. Ou seja, definimos
- Para testar a convergência de
vamos usar o Teste da Razão (Ratio test). O Teste da Razão diz: se
existe e
, então
converge; se
diverge; se
o teste é inconclusivo. Vou explicar cada passo do cálculo do quociente.
Passo 3
Calculemos
explicitamente, mostrando todas as simplificações.
Agora o quociente:
Cancelando os fatores comuns
e
, obtemos
Note que usei
e
.
Passo 4
Simplifiquemos a expressão do quociente e calculemos o limite quando
.
Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por
:
Tomando
os termos
e
tendem a zero, logo
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão: como
, concluímos que a série
converge. Isto significa que a série original converge absolutamente (absolutely convergent).
Comentário rápido e intuitivo: a razão entre termos sucessivos das magnitudes tende a
, parecido com uma série geométrica com razão
, por isso a soma das magnitudes fica finita.
Resposta
A série é absolutamente convergente.