Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n} n!}{5 \cdot 8 \cdot 11 \cdot \cdots \cdot(3 n+2)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{n} n!}{5\cdot 8\cdot 11\cdot\cdots\cdot(3n+2)}
e pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
a_n = (-1)^{n}\frac{2^{n} n!}{\prod_{k=1}^{n}(3k+2)}.
A questão é avaliar a convergência (absoluta/condicional/divergente) dessa série infinita.

Passo 2

Estratégia e conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Primeiro vamos estudar a série das magnitudes (valores absolutos) porque se a série das magnitudes convergir, então a série original converge absolutamente. Ou seja, definimos
b_n=\left|a_n\right|=\frac{2^{n} n!}{\prod_{k=1}^{n}(3k+2)}.
  • Para testar a convergência de \sum b_n vamos usar o Teste da Razão (Ratio test). O Teste da Razão diz: se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe e L<1, então \sum b_n converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Vou explicar cada passo do cálculo do quociente.

Passo 3

Calculemos \dfrac{b_{n+1}}{b_n} explicitamente, mostrando todas as simplificações.
b_n=\frac{2^{n} n!}{\prod_{k=1}^{n}(3k+2)},\qquad b_{n+1}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k+2)}.
Agora o quociente:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k+2)} \cdot \frac{\prod_{k=1}^{n}(3k+2)}{2^{n} n!}.
Cancelando os fatores comuns \prod_{k=1}^{n}(3k+2) e 2^{n} n!, obtemos
\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\cdot\frac{n+1}{3(n+1)+2}.
Note que usei \prod_{k=1}^{n+1}(3k+2)=(\prod_{k=1}^{n}(3k+2))\cdot(3(n+1)+2) e (n+1)!=(n+1)\cdot n!.

Passo 4

Simplifiquemos a expressão do quociente e calculemos o limite quando n\to\infty.
\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\cdot\frac{n+1}{3n+5}.
Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por n:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\cdot\frac{1+1/n}{3+5/n}.
Tomando n\to\infty os termos 1/n e 5/n tendem a zero, logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão: como L=\dfrac{2}{3}<1, concluímos que a série \sum b_n=\sum |a_n| converge. Isto significa que a série original converge absolutamente (absolutely convergent).
Comentário rápido e intuitivo: a razão entre termos sucessivos das magnitudes tende a 2/3, parecido com uma série geométrica com razão <1, por isso a soma das magnitudes fica finita.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados